В подобных треугольниках AOB и A1O1B1 известно, что AO : OB : AB = 9 : 7 : 8 и A1O1 + O1B1 = 64. Найти A1B1.

Для решения этой задачи воспользуемся соотношениями, которые имеются в подобных треугольниках.

В треугольниках AOB и A1O1B1 мы знаем, что длины отрезков AO, OB и AB соотносятся как 9:7:8. Это означает, что:

• Пусть AO = 9x,
• OB = 7x,
• AB = 8x.

Теперь найдем длину AB в первом треугольнике:

AB = AO + OB = 9x + 7x = 16x.

Теперь для второго треугольника A1O1B1 у нас есть соотношение:

A1O1 + O1B1 = 64.

Так как треугольники подобны, то соотношение между соответствующими сторонами равно. Таким образом, можем записать:

\[ \frac{A1O1}{AO} = \frac{O1B1}{OB} = \frac{A1B1}{AB} = k, \]

где \( k \) — коэффициент подобия. Поэтому можем выразить стороны второго треугольника через коэффициент k:

• \( A1O1 = k \cdot AO = k \cdot 9x \),
• \( O1B1 = k \cdot OB = k \cdot 7x \).

Теперь подставим в известное уравнение:

\[ k \cdot 9x + k \cdot 7x = 64, \] \[ k (9x + 7x) = 64, \] \[ k \cdot 16x = 64. \]

Теперь найдем \( k \cdot x \):

\[ k \cdot x = \frac{64}{16} = 4 \implies kx = 4. \]

Теперь рассчитаем \( A1B1 \):

\[ A1B1 = k \cdot AB = k \cdot 8x = 8(kx) = 8 \cdot 4 = 32. \]

Таким образом, длина отрезка \( A1B1 \) равна \( 32 \).

Ответ: \( A1B1 = 32 \).