Решите уравнение с помощью составления схемы Горнера: а) х³-5х²+9х-5=0; Ь) х³-4x²+х+6=0; с) х⁴+4х³-25х²-16х+84=0.

Схема Горнера используется для деления многочленов и нахождения корней уравнений. Мы будем использовать метод подбора корней, чтобы найти корень, а затем применим схему Горнера для деления.

а) \( x^3 - 5x^2 + 9x - 5 = 0 \)

1. Подберем корень, например, \( x = 1 \): \[ 1^3 - 5(1^2) + 9(1) - 5 = 1 - 5 + 9 - 5 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) является корнем уравнения.

2. Применим схему Горнера для деления многочлена на \( x - 1 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -5 & 9 & -5 \\ & & 1 & -4 & 5 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & 0 \\ \end{array} \] Получаем многочлен \( x^2 - 4x + 5 \).

3. Найдем корни многочлена \( x^2 - 4x + 5 \): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \text{ (дискриминант отрицательный)} \] Корни будут комплексными: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i \]

b) \( x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0 \)

1. Подберем корень, например, \( x = 2 \): \[ 2^3 - 4(2^2) + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0 \] Значит, \( x = 2 \) является корнем уравнения.

2. Применим схему Горнера для деления многочлена на \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6 \\ & & 2 & -4 & -6 \\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \\ \end{array} \] Получаем многочлен \( x^2 - 2x - 3 \).

3. Найдем корни многочлена \( x^2 - 2x - 3 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} = 3, -1 \]

c) \( x^4 + 4x^3 - 25x^2 - 16x + 84 = 0 \)

1. Подберем корень, например, \( x = 2 \): \[ 2^4 + 4(2^3) - 25(2^2) - 16(2) + 84 = 16 + 32 - 100 - 32 + 84 = 0 \] Значит, \( x = 2 \) является корнем уравнения.

2. Применим схему Горнера для деления многочлена на \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 1 & 4 & -25 & -16 & 84 \\ & & 2 & 12 & -26 & -84 \\ \hline & 1 & 6 & -13 & -42 & 0 \\ \end{array} \] Получаем многочлен \( x^3 + 6x^2 - 13x - 42 \).

3. Подберем корень для \( x^3 + 6x^2 - 13x - 42 \). Например, \( x = -6 \): \[ (-6)^3 + 6(-6)^2 - 13(-6) - 42 = -216 + 216 + 78 - 42 = 36 \quad (\text{не корень}) \]

   Попробуем \( x = -3 \): \[ (-3)^3 + 6(-3)^2 - 13(-3) - 42 = -27 + 54 + 39 - 42 = 24 \quad (\text{не корень}) \]

   Попробуем \( x = -7 \): \[ (-7)^3 + 6(-7)^2 - 13(-7) - 42 = -343 + 294 + 91 - 42 = 0 \] Значит, \( x = -7 \) является корнем.

4. Применим схему Горнера для \( x^3 + 6x^2 - 13x - 42 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -7 & 1 & 6 & -13 & -42 \\ & & -7 & 7 & 42 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \\ \end{array} \] Получаем многочлен \( x^2 - x - 6 \).

5. Найдем корни многочлена \( x^2 - x - 6 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} = 3, -2 \]

Ответ:

1. \( x^3 - 5x^2 + 9x - 5 = 0 \) имеет корни: \( x = 1, 2+i, 2-i \)
2. \( x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0 \) имеет корни: \( x = 2, 3, -1 \)
3. \( x^4 + 4x^3 - 25x^2 - 16x + 84 = 0 \) имеет корни: \( x = 2, -7, 3, -2 \)