Для решения системы уравнений:
- ( 3x^2 + 2y = 11 )
- ( 5x^2 - 2y = -3 )
Начнем с того, что выразим ( y ) из первого уравнения:
[
2y = 11 - 3x^2
]
[
y = \frac{11 - 3x^2}{2}
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
5x^2 - 2\left(\frac{11 - 3x^2}{2}\right) = -3
]
Это упростится до:
[
5x^2 - (11 - 3x^2) = -3
]
Раскроем скобки:
[
5x^2 - 11 + 3x^2 = -3
]
Объединим подобные:
[
8x^2 - 11 = -3
]
Переносим -3 в левую часть:
[
8x^2 - 8 = 0
]
Теперь решим это уравнение:
[
8x^2 = 8
]
[
x^2 = 1
]
Извлекаем корень:
[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
]
Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ) с помощью первого уравнения.
Для ( x = 1 ):
[
y = \frac{11 - 3(1^2)}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
Для ( x = -1 ):
[
y = \frac{11 - 3(-1^2)}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:
- ( (1, 4) )
- ( (-1, 4) )
Ответ: ((x, y) = (1, 4)) и ((x, y) = (-1, 4)).
