треугольник МПК прямоугольный с прямым углом K угол п 30° КТ высотамт 12 см Найдите сторону МК
В прямоугольном треугольнике \( МПК \) с прямым углом в точке \( K \) и углом \( P = 30^\circ \), высота \( КТ \) опущенная из точки \( K \) имеет длину 12 см.
Для начала вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов длина противолежащей стороны (которая соответствует углу 30°) к гипотенузе в два раза меньше гипотенузы.
Обозначим:
- \( MK \) - это одна из катетов (прилежащий к углу 30°)
- \( PK \) - это другой катет (противоположный к углу 30°)
- \( MP \) - это гипотенуза
Зная, что высота \( КТ \) в данном треугольнике равна 12 см, можно найти площадь треугольника двумя способами: через высоту и основание и через катеты.
Площадь треугольника \( S \) можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot PK \] С другой стороны: \[ S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot КТ \]
Поскольку \( КТ = 12 \) см, у нас: \[ S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot 12 \]
Теперь, если обозначить длину гипотенузы \( MP \) как \( h \), мы также знаем, что по свойству угла 30°: \[ PK = \frac{1}{2} \cdot h \quad (противоположная сторона к углу 30°) \] \[ MK = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \quad (прилежащая сторона к углу 30°) \]
Теперь мы можем выразить площадь \( S \) через \( h \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \cdot \frac{1}{2} h = \frac{\sqrt{3}}{8} h^2 \]
Приравняем оба выражения площади: \[ \frac{\sqrt{3}}{8} h^2 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 12 \]
Упрощаем уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{8} h^2 = 6h \] \[ \sqrt{3} h = 48 \] \[ h = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \]
Теперь рассчитаем стороны \( MK \): \[ MK = \frac{\sqrt{3}}{2} h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \text{ см} \]
Таким образом, длина стороны \( MK \) равна 24 см.
