В прямоугольном треугольнике ( МПК ) с прямым углом в точке ( K ) и углом ( P = 30^\circ ), высота ( КТ ) опущенная из точки ( K ) имеет длину 12 см.
Для начала вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов длина противолежащей стороны (которая соответствует углу 30°) к гипотенузе в два раза меньше гипотенузы.
Обозначим:
- ( MK ) - это одна из катетов (прилежащий к углу 30°)
- ( PK ) - это другой катет (противоположный к углу 30°)
- ( MP ) - это гипотенуза
Зная, что высота ( КТ ) в данном треугольнике равна 12 см, можно найти площадь треугольника двумя способами: через высоту и основание и через катеты.
Площадь треугольника ( S ) можно выразить как:
[
S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot PK
]
С другой стороны:
[
S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot КТ
]
Поскольку ( КТ = 12 ) см, у нас:
[
S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot 12
]
Теперь, если обозначить длину гипотенузы ( MP ) как ( h ), мы также знаем, что по свойству угла 30°:
[
PK = \frac{1}{2} \cdot h \quad (противоположная сторона к углу 30°)
]
[
MK = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \quad (прилежащая сторона к углу 30°)
]
Теперь мы можем выразить площадь ( S ) через ( h ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h \cdot \frac{1}{2} h = \frac{\sqrt{3}}{8} h^2
]
Приравняем оба выражения площади:
[
\frac{\sqrt{3}}{8} h^2 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 12
]
Упрощаем уравнение:
[
\frac{\sqrt{3}}{8} h^2 = 6h
]
[
\sqrt{3} h = 48
]
[
h = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}
]
Теперь рассчитаем стороны ( MK ):
[
MK = \frac{\sqrt{3}}{2} h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \text{ см}
]
Таким образом, длина стороны ( MK ) равна 24 см.
