Дано: треугольник ABC угол C=90⁰ угол B=30⁰ доказать AC =1/2 AB

Для доказательства равенства \( AC = \frac{1}{2} AB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) и углом \( B = 30^\circ \), воспользуемся свойствами треугольников и тригонометрическими функциями. 1. **Определим угол \( A \)**: Поскольку сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), мы имеем: \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ. \] 2. **Используем соотношения в прямоугольном треугольнике**: В треугольнике \( ABC \) с углом \( B = 30^\circ \) и углом \( A = 60^\circ \) можно использовать известные соотношения для углов \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \). 3. **Треугольные соотношения**: В прямоугольном треугольнике с углом \( B = 30^\circ \): - \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) - \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) В треугольнике можно записать: \[ AB = AC \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)}. \] Подставляя значение \( \cos(30^\circ) \): \[ AB = AC \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \] 4. **Найдём сторону \( AC \)** через \( AB \): В данном случае, также можно записать: \[ AC = AB \cdot \cos(30^\circ) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \] 5. **Сравним \( AC \) с \( AB \)**: Так как \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), можем вывести следующее равенство: \[ AB = AC \cdot 2. \] Это равенство показывает, что \( AC \) в два раза меньше \( AB \). То есть: \[ AC = \frac{1}{2} AB. \] Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углами \( B = 30^\circ \) и \( C = 90^\circ \ выполняется равенство: \[ AC = \frac{1}{2} AB. \]