Расстояние между пунктами А и Б равно 180 км. Из пункта А выехал велосипедист, а через 2 ч 15 мин навстречу ему из пункта Б выехал второй велосипедист, скорость которого на 9…

Давайте обозначим скорость первого велосипедиста как \( v \) (км/ч). Тогда скорость второго велосипедиста будет \( v + 9 \) (км/ч).

Расстояние между пунктами А и Б составляет 180 км, следовательно, середина пути находится на расстоянии 90 км от каждого из пунктов.

Пусть \( t \) — время в часах, в течение которого первый велосипедист двигался до встречи. Тогда расстояние, которое он проедет за это время, равно \( vt \).

Второй велосипедист выехал через 2 часа 15 минут (что равно \( \frac{9}{4} \) часа) после первого. Таким образом, он ехал на \( t - \frac{9}{4} \) часов до встречи, и расстояние, которое он проедет, равно \( (v + 9) \left(t - \frac{9}{4}\right) \).

Так как оба велосипедиста встретились на середине пути (по 90 км от каждого пункта), мы можем записать уравнение: \[ vt = 90 \] и \[ (v + 9) \left(t - \frac{9}{4}\right) = 90. \]

Теперь выразим \( v \) из первого уравнения: \[ v = \frac{90}{t}. \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ \left(\frac{90}{t} + 9\right) \left(t - \frac{9}{4}\right) = 90. \]

Упростим это уравнение: \[ \left(\frac{90 + 9t}{t}\right) \left(t - \frac{9}{4}\right) = 90. \]

Умножим обе стороны на \( t \): \[ (90 + 9t) \left(t - \frac{9}{4}\right) = 90t. \]

Раскроем скобки: \[ 90t - \frac{810}{4} + 9t^2 - \frac{81t}{4} = 90t. \]

Упростим: \[ 9t^2 - \frac{810}{4} - \frac{81t}{4} = 0. \]

Теперь умножим уравнение на 4 для удаления дробей: \[ 36t^2 - 810 - 81t = 0. \]

Преобразуем уравнение: \[ 36t^2 - 81t - 810 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение, применив дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-81)^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-810) = 6561 + 116640 = 123201. \] \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{81 \pm \sqrt{123201}}{72}. \]

Находим \( \sqrt{123201} \), что примерно равно 351.87: \[ t \approx \frac{81 + 351.87}{72} \approx \frac{432.87}{72} \approx 6.02 \text{ ч}. \]

Таким образом, время движения первого велосипедиста примерно равно 6 ч и 1 мин.