Уравнение, которое вы привели, можно записать в стандартной форме как:
[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0. ]
Это уравнение является квадратным относительно ( x^2 ). Давайте сделаем замену: пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - 3y - 4 = 0. ]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ). Подставим значения:
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1},
]
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2},
]
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2},
]
[
y = \frac{3 \pm 5}{2}.
]
Теперь вычислим два значения для ( y ):
- ( y_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 ),
- ( y_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ).
Теперь вернёмся к переменной ( x ):
- Если ( y_1 = 4 ), то ( x^2 = 4 ) → ( x = 2 ) или ( x = -2 ).
- Если ( y_2 = -1 ), то уравнение ( x^2 = -1 ) не имеет действительных решений, но имеет комплексные: ( x = i ) и ( x = -i ).
Таким образом, решения уравнения:
- Действительные: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).
- Комплексные: ( x = i ) и ( x = -i ).
