Ислеловать функцию f(x)=-1/4(x³-3x+4)

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = -\frac{1}{4}(x^3 - 3x + 4) \), мы можем выполнить следующие шаги: 1. **Определить область определения**: Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа \( \mathbb{R} \). 2. **Найти производную**: Для нахождения критических точек нам нужно найти производную функции: \[ f'(x) = -\frac{1}{4}(3x^2 - 3) = -\frac{3}{4}(x^2 - 1) = -\frac{3}{4}(x - 1)(x + 1) \] Критические точки находятся, когда \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{3}{4}(x - 1)(x + 1) = 0 \] Это уравнение дает нам критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). 3. **Проверка знака производной**: Для исследования поведения функции в окрестности критических точек, проверим знак производной на интервалах: - Для \( x < -1 \): производная положительна (например, подставим \( x = -2 \)). - Для \( -1 < x < 1 \): производная отрицательна (например, подставим \( x = 0 \)). - Для \( x > 1 \): производная положительна (например, подставим \( x = 2 \)). Это позволяет сделать вывод, что: - На интервале \( (-\infty, -1) \) функция возрастает. - На интервале \( (-1, 1) \) функция убывает. - На интервале \( (1, \infty) \) функция снова возрастает. 4. **Найти значения функции в критических точках**: - \( f(-1) = -\frac{1}{4}((-1)^3 - 3(-1) + 4) = -\frac{1}{4}(-1 + 3 + 4) = -\frac{1}{4}(6) = -\frac{3}{2} \) - \( f(1) = -\frac{1}{4}(1^3 - 3(1) + 4) = -\frac{1}{4}(1 - 3 + 4) = -\frac{1}{4}(2) = -\frac{1}{2} \) 5. **Определение типов критических точек**: - В точке \( x = -1 \) функция имеет максимум, так как функция меняет направление с возрастания на убывание. - В точке \( x = 1 \) функция имеет минимум, так как функция меняет направление с убывания на возрастание. 6. **Пределы функции**: Посмотрим на поведение функции на бесконечностях: - При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \) (функция стремится к положительной бесконечности). - При \( x \to +\infty \), \( f(x) \to -\infty \) (функция стремится к отрицательной бесконечности). 7. **График функции**: Обратите внимание, что функция имеет форму кубической параболы, с одним максимумом и одним минимумом. Таким образом, график функции \( f(x) = -\frac{1}{4}(x^3 - 3x + 4) \) будет иметь максимум в точке \( (-1, -\frac{3}{2}) \) и минимум в точке \( (1, -\frac{1}{2}) \).