Ислеловать функцию f(x)=-1/4(x³-3x+4)
Чтобы исследовать функцию \( f(x) = -\frac{1}{4}(x^3 - 3x + 4) \), мы можем выполнить следующие шаги:
Определить область определения: Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа \( \mathbb{R} \).
Найти производную: Для нахождения критических точек нам нужно найти производную функции:
\[ f'(x) = -\frac{1}{4}(3x^2 - 3) = -\frac{3}{4}(x^2 - 1) = -\frac{3}{4}(x - 1)(x + 1) \]
Критические точки находятся, когда \( f'(x) = 0 \):
\[ -\frac{3}{4}(x - 1)(x + 1) = 0 \]
Это уравнение дает нам критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Проверка знака производной: Для исследования поведения функции в окрестности критических точек, проверим знак производной на интервалах:
- Для \( x < -1 \): производная положительна (например, подставим \( x = -2 \)).
- Для \( -1 < x < 1 \): производная отрицательна (например, подставим \( x = 0 \)).
- Для \( x > 1 \): производная положительна (например, подставим \( x = 2 \)).
Это позволяет сделать вывод, что:
- На интервале \( (-\infty, -1) \) функция возрастает.
- На интервале \( (-1, 1) \) функция убывает.
- На интервале \( (1, \infty) \) функция снова возрастает.
Найти значения функции в критических точках:
- \( f(-1) = -\frac{1}{4}((-1)^3 - 3(-1) + 4) = -\frac{1}{4}(-1 + 3 + 4) = -\frac{1}{4}(6) = -\frac{3}{2} \)
- \( f(1) = -\frac{1}{4}(1^3 - 3(1) + 4) = -\frac{1}{4}(1 - 3 + 4) = -\frac{1}{4}(2) = -\frac{1}{2} \)
Определение типов критических точек:
- В точке \( x = -1 \) функция имеет максимум, так как функция меняет направление с возрастания на убывание.
- В точке \( x = 1 \) функция имеет минимум, так как функция меняет направление с убывания на возрастание.
Пределы функции: Посмотрим на поведение функции на бесконечностях:
- При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \) (функция стремится к положительной бесконечности).
- При \( x \to +\infty \), \( f(x) \to -\infty \) (функция стремится к отрицательной бесконечности).
График функции: Обратите внимание, что функция имеет форму кубической параболы, с одним максимумом и одним минимумом.
Таким образом, график функции \( f(x) = -\frac{1}{4}(x^3 - 3x + 4) \) будет иметь максимум в точке \( (-1, -\frac{3}{2}) \) и минимум в точке \( (1, -\frac{1}{2}) \).
