неравенства 2x2-x-15>0
Чтобы решить неравенство \(2x^2 - x - 15 > 0\), сначала найдём корни соответствующего уравнения \(2x^2 - x - 15 = 0\) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -15\).
Подставим значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -2.5\).
Следующий шаг - определить знаки выражения \(2x^2 - x - 15\) на интервалах, которые образуются корнями, а именно: \((- \infty, -2.5)\), \((-2.5, 3)\), и \((3, +\infty)\).
Выберем точку \(x = -3\) (интервал \((- \infty, -2.5)\)): \[ 2(-3)^2 - (-3) - 15 = 18 + 3 - 15 = 6 > 0 \]
Выберем точку \(x = 0\) (интервал \((-2.5, 3)\)): \[ 2(0)^2 - 0 - 15 = -15 < 0 \]
Выберем точку \(x = 4\) (интервал \((3, +\infty)\)): \[ 2(4)^2 - 4 - 15 = 32 - 4 - 15 = 13 > 0 \]
Теперь можем записать результат:
- На интервале \((- \infty, -2.5)\) выражение положительное.
- На интервале \((-2.5, 3)\) выражение отрицательное.
- На интервале \((3, +\infty)\) выражение положительное.
Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - x - 15 > 0\):
\[ x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty) \]
