Дано ABCDA1B1C1D1-куб. Найдите угол AD1, DD1C1
Для нахождения угла \( AD_1D C_1 \) необходимо рассмотреть координаты его вершин в пространстве. Предположим, что куб ABCDA1B1C1D1 имеет следующие координаты вершин:
- \( A (0, 0, 0) \)
- \( B (1, 0, 0) \)
- \( C (1, 1, 0) \)
- \( D (0, 1, 0) \)
- \( A1 (0, 0, 1) \)
- \( B1 (1, 0, 1) \)
- \( C1 (1, 1, 1) \)
- \( D1 (0, 1, 1) \)
Углы формируются между векторами:
- Вектор \( \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1) \)
- Вектор \( \overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0, 1, 1) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1) \)
- Вектор \( \overrightarrow{D_1C_1} = C_1 - D_1 = (1, 1, 1) - (0, 1, 1) = (1, 0, 0) \)
Для нахождения угла между \( \overrightarrow{AD_1} \) и плоскостью, образованной векторами \( \overrightarrow{DD_1} \) и \( \overrightarrow{D_1C_1} \), используем векторное произведение:
Найдите векторное произведение \( \overrightarrow{DD_1} \times \overrightarrow{D_1C_1} \): \[ \overrightarrow{DD_1} = (0, 0, 1), \quad \overrightarrow{D_1C_1} = (1, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{DD_1} \times \overrightarrow{D_1C_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\mathbf{i} - (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1)\mathbf{k} = (0, -1, 0) \]
Затем найдем угол \( \alpha \) между вектором \( \overrightarrow{AD_1} \) и нормалевым вектором \( (0, -1, 0) \): \[ \overrightarrow{AD_1} = (0, 1, 1) \] Используя формулу для косинуса угла: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \text{нормаль}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\text{нормаль}|} \] Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AD_1} \cdot (0, -1, 0) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1 \] Длину векторов: \[ |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad |\text{нормаль}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \] Подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \alpha = 135^\circ \]
Таким образом, угол \( AD_1D C_1 \) равен \( 135^\circ \).
