Для нахождения экстремумов функции ( f(x) = \frac{1}{\pi} \ln(|\sin(\pi x)|) - x ) необходимо сначала вычислить её производную и приравнять её к нулю.
Найдём производную ( f'(x) ):
[
f'(x) = \frac{1}{|\sin(\pi x)|} \cdot \pi \cos(\pi x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(\pi x)) - 1 = \frac{\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} - 1.
]
Это выражение можно упростить:
[
f'(x) = \pi \cot(\pi x) - 1.
]
Найдём точки, где производная равна нулю:
[
\pi \cot(\pi x) - 1 = 0 \implies \cot(\pi x) = \frac{1}{\pi} \implies \tan(\pi x) = \pi.
]
Найдём значения ( x ), которые удовлетворяют этому уравнению:
[
\pi x = \arctan(\pi) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \implies x = \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k.
]
Теперь, исследуем, какие значения ( k ) будут находиться в пределах интервала [100; 200]:
[
100 \leq \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k \leq 200.
]
Приблизительно, ( \arctan(\pi) ) можно оценить, как ( 1.262 ) (в радианах), что дает ( \frac{\arctan(\pi)}{\pi} \approx 0.4 ).
Таким образом:
[
99.6 \leq k \leq 199.6 \implies k \in {100, 101, 102, \ldots, 199}.
]
Поскольку каждая ( k ) соответствует одной точке локального экстремума, определим все такие точки:
[
x_k = \frac{0.4}{\pi} + k, \text{ при } k = 100, 101, \ldots, 199.
]
Найдём сумму всех ( x_k ):
[
S = \sum_{k=100}^{199} \left( \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k \right) = \sum_{k=100}^{199} \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + \sum_{k=100}^{199} k.
]
Сумма чисел от ( a ) до ( b ) вычисляется по формуле ( \frac{n(a+b)}{2} ), где ( n ) — количество слагаемых:
- Количество слагаемых при ( k ) от 100 до 199 — это ( 199 - 100 + 1 = 100 ) чисел.
- Сумма ( k ):
[
\sum_{k=100}^{199} k = \frac{100(100 + 199)}{2} = \frac{100 \times 299}{2} = 14950.
]
Сумма константы:
[
\sum_{k=100}^{199} \frac{\arctan(\pi)}{\pi} = 100 \cdot \frac{\arctan(\pi)}{\pi}.
]
Таким образом, общая сумма:
[
S = 100 \cdot \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + 14950.
]
Для вычислений конечной суммы, используем приближенное значение ( \arctan(\pi) \approx 1.262 ), тогда
[
S \approx 100 \cdot \frac{1.262}{3.14159} + 14950 \approx 100 \cdot 0.402 + 14950 \approx 14950 + 40.2 \approx 14990.2.
]
Ответ:
14990.2 (если округлять, можно дать целое число, например, 14990).
Но для задачи необходимо округлить ответ до десятичной дроби:
Ответ: 14990.2.
