Найдите сумму точек экстремума функции f(x) = 1/пIn(| sin(пx)|) - x на промежутке х € [100; 200] Запишите в поле ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Образец…

Для нахождения экстремумов функции \( f(x) = \frac{1}{\pi} \ln(|\sin(\pi x)|) - x \) необходимо сначала вычислить её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{|\sin(\pi x)|} \cdot \pi \cos(\pi x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(\pi x)) - 1 = \frac{\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} - 1. \] Это выражение можно упростить: \[ f'(x) = \pi \cot(\pi x) - 1. \]

2. Найдём точки, где производная равна нулю: \[ \pi \cot(\pi x) - 1 = 0 \implies \cot(\pi x) = \frac{1}{\pi} \implies \tan(\pi x) = \pi. \]

3. Найдём значения \( x \), которые удовлетворяют этому уравнению: \[ \pi x = \arctan(\pi) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \implies x = \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k. \]

4. Теперь, исследуем, какие значения \( k \) будут находиться в пределах интервала [100; 200]: \[ 100 \leq \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k \leq 200. \] Приблизительно, \( \arctan(\pi) \) можно оценить, как \( 1.262 \) (в радианах), что дает \( \frac{\arctan(\pi)}{\pi} \approx 0.4 \).

Таким образом: \[ 99.6 \leq k \leq 199.6 \implies k \in \{100, 101, 102, \ldots, 199\}. \]

5. Поскольку каждая \( k \) соответствует одной точке локального экстремума, определим все такие точки: \[ x_k = \frac{0.4}{\pi} + k, \text{ при } k = 100, 101, \ldots, 199. \]

6. Найдём сумму всех \( x_k \): \[ S = \sum_{k=100}^{199} \left( \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + k \right) = \sum_{k=100}^{199} \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + \sum_{k=100}^{199} k. \]

Сумма чисел от \( a \) до \( b \) вычисляется по формуле \( \frac{n(a+b)}{2} \), где \( n \) — количество слагаемых:

• Количество слагаемых при \( k \) от 100 до 199 — это \( 199 - 100 + 1 = 100 \) чисел.
• Сумма \( k \): \[ \sum_{k=100}^{199} k = \frac{100(100 + 199)}{2} = \frac{100 \times 299}{2} = 14950. \]

Сумма константы: \[ \sum_{k=100}^{199} \frac{\arctan(\pi)}{\pi} = 100 \cdot \frac{\arctan(\pi)}{\pi}. \]

Таким образом, общая сумма: \[ S = 100 \cdot \frac{\arctan(\pi)}{\pi} + 14950. \]

Для вычислений конечной суммы, используем приближенное значение \( \arctan(\pi) \approx 1.262 \), тогда \[ S \approx 100 \cdot \frac{1.262}{3.14159} + 14950 \approx 100 \cdot 0.402 + 14950 \approx 14950 + 40.2 \approx 14990.2. \]

Ответ: 14990.2 (если округлять, можно дать целое число, например, 14990).

Но для задачи необходимо округлить ответ до десятичной дроби: Ответ: 14990.2.