Найди обьем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм

Объем конуса \( V \) можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — высота конуса. Мы знаем радиус основания \( r = 6 \) дм и радиус вписанной сферы \( R = 3 \) дм. Связь между радиусом вписанной сферы, радиусом основания и высотой конуса можно выразить следующим образом: \[ R = \frac{r h}{r + h} \] Подставим известные значения: \[ 3 = \frac{6h}{6 + h} \] Умножим обе стороны на \( 6 + h \): \[ 3(6 + h) = 6h \] Раскроем скобки: \[ 18 + 3h = 6h \] Переносим \( 3h \) в правую часть: \[ 18 = 6h - 3h \] Таким образом: \[ 18 = 3h \] Отсюда находим высоту: \[ h = \frac{18}{3} = 6 \text{ дм} \] Теперь мы можем найти объем конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (6) = \frac{1}{3} \pi (36)(6) = \frac{1}{3} \pi \cdot 216 = 72\pi \] Таким образом, объем конуса составляет: \[ V \approx 72 \cdot 3.14 \approx 226.08 \text{ куб. дм} \] Ответ: объем конуса составляет \( 72\pi \) куб. дм (или приблизительно \( 226.08 \) куб. дм).