Решите

Давайте решим выражение: \[ 5\sqrt{2} \sin \frac{3\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} \] Мы можем использовать тригонометрическое тождество: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Подставив \( x = \frac{3\pi}{8} \), получаем: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \] Значение \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) равно \( \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \] Следовательно, \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] Таким образом, значение выражения равно \( \frac{5}{2} \).