решите

Давайте решим выражение:

\[ 5\sqrt{2} \sin \frac{3\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} \]

Мы можем использовать тригонометрическое тождество:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

Подставив \( x = \frac{3\pi}{8} \), получаем:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \]

Значение \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) равно \( \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) \]

Следовательно,

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Таким образом, значение выражения равно \( \frac{5}{2} \).