Вася, Полина и Николай занимаются прополкой огорода, который находится возле дома их бабушки. Работают они с разной скоростью. Вчерашняя работа показала, что Вася и Полина выпалывают гряду за 8 мин, Полина и Николай выпалывают её же за 10 мин, Николай и Вася за 24 мин. За сколько минут выполнят эту работу все вместе? Ответ: втроём дети выполнят работу за мин.

Чтобы решить задачу, сначала определим скорость работы каждого из детей. Обозначим: - скорость Васи как \( V \), - скорость Полины как \( P \), - скорость Николая как \( N \). Сначала запишем уравнения для работы пары: 1. Вася и Полина выпалывают гряду за 8 мин: \[ V + P = \frac{1}{8} \] 2. Полина и Николай выпалывают гряду за 10 мин: \[ P + N = \frac{1}{10} \] 3. Николай и Вася выпалывают гряду за 24 мин: \[ N + V = \frac{1}{24} \] Теперь у нас есть система из трёх уравнений: \[ \begin{cases} V + P = \frac{1}{8} \\ P + N = \frac{1}{10} \\ N + V = \frac{1}{24} \end{cases} \] Для нахождения всех скоростей мы можем выразить одну переменную через другую и подставить. 1. Из первого уравнения выражаем \( P \): \[ P = \frac{1}{8} - V \] 2. Подставляем \( P \) во второе уравнение: \[ \left( \frac{1}{8} - V \right) + N = \frac{1}{10} \] \[ N - V = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} \] Приведем дроби к общему знаменателю (40): \[ \frac{4}{40} - \frac{5}{40} = -\frac{1}{40} \] Следовательно: \[ N - V = -\frac{1}{40} \implies N = V - \frac{1}{40} \] 3. Теперь подставим \( N \) в третье уравнение: \[ \left( V - \frac{1}{40} \right) + V = \frac{1}{24} \] \[ 2V - \frac{1}{40} = \frac{1}{24} \] Переведем обе дроби к общему знаменателю (120): \[ 2V - \frac{3}{120} = \frac{5}{120} \] \[ 2V = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} \] \[ V = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \] Теперь найдем скорости остальных: 1. Подставляем \( V \) в выражение для \( P \): \[ P = \frac{1}{8} - \frac{1}{30} = \frac{15}{120} - \frac{4}{120} = \frac{11}{120} \] 2. Подставляем \( V \) в выражение для \( N \): \[ N = V - \frac{1}{40} = \frac{1}{30} - \frac{3}{120} = \frac{4}{120} - \frac{3}{120} = \frac{1}{120} \] Теперь все скорости известны: - \( V = \frac{1}{30} \) - \( P = \frac{11}{120} \) - \( N = \frac{1}{120} \) Теперь найдем общую скорость всех троих: \[ V + P + N = \frac{1}{30} + \frac{11}{120} + \frac{1}{120} \] Преобразуем: \[ \frac{1}{30} = \frac{4}{120}, \] тогда \[ \frac{4}{120} + \frac{11}{120} + \frac{1}{120} = \frac{16}{120} = \frac{2}{15} \] Теперь можем найти, за сколько времени они смогут поработать вместе: \[ t = \frac{1}{V + P + N} = \frac{1}{\frac{2}{15}} = \frac{15}{2} = 7.5 \] Таким образом, все трое вместе выполнят работу за 7.5 минут. Ответ: 7.5 мин.