Чтобы найти координаты точек пересечения прямой ( 2x - y = 4 ) и параболы ( y = x^2 + 4x - 12 ), мы сначала выразим одну из переменных через другую и подставим это в уравнение второй фигуры.
Сначала выразим ( y ) из уравнения прямой:
[
y = 2x - 4
]
Теперь подставим это значение ( y ) в уравнение параболы:
[
2x - 4 = x^2 + 4x - 12
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
0 = x^2 + 4x - 12 - 2x + 4
]
[
0 = x^2 + 2x - 8
]
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 2x - 8 = 0 ) с помощью формулы для корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -8 ).
Выразим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
]
Теперь можем найти корни:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}
]
Сначала находим первый корень:
[
x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
Теперь второй корень:
[
x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4
]
Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для ( x_1 ) и ( x_2 ):
Для ( x_1 = 2 ):
[
y_1 = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0
]
Для ( x_2 = -4 ):
[
y_2 = 2(-4) - 4 = -8 - 4 = -12
]
Таким образом, точки пересечения прямой и параболы:
[
(2, 0) \quad \text{и} \quad (-4, -12)
]
Ответ: точки пересечения — ( (2, 0) ) и ( (-4, -12) ).
