решить уравнение

Чтобы решить уравнение \( \sin \frac{3\pi}{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), необходимо определить значения аргумента функции синуса, при которых синус принимает значение \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[ \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Из тригонометрии известно, что \(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) при: \[ \theta = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \theta = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \] где \(k\) — целое число.

У нас \(\theta = \frac{3\pi}{x}\), подставим это значение:

1. \(\frac{3\pi}{x} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)
2. \(\frac{3\pi}{x} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\)

Теперь решим относительно \(x\):

1. \[ 3\pi = \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)x \] \[ x = \frac{3\pi}{-\frac{\pi}{3} + 2\pi k} = \frac{9}{6k-1} \]

2. \[ 3\pi = \left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right)x \] \[ x = \frac{3\pi}{-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k} = \frac{9}{6k-2} \]

Таким образом, решения для \(x\) имеют вид: \[ x = \frac{9}{6k-1} \quad \text{или} \quad x = \frac{9}{6k-2} \] где \(k\) — целое число.