Для решения этой задачи мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула для вероятности того, что событие произойдет ровно ( k ) раз в ( n ) испытаниях, выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успешных исходов (в нашем случае 104),
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае 0.4),
- (\binom{n}{k}) — биномиальный коэффициент, рассчитываемый по формуле:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Подставим наши значения в формулу:
[
n = 300, \quad k = 104, \quad p = 0.4
]
Теперь находим вероятность:
- Сначала вычислим биномиальный коэффициент:
[
\binom{300}{104} = \frac{300!}{104!(300-104)!}
]
- Затем вычислим ( p^k ) и ( (1-p)^{n-k} ):
[
p^k = 0.4^{104}
]
[
(1-p)^{n-k} = 0.6^{196}
]
- Теперь подставим все в формулу для вероятности:
[
P(X = 104) = \binom{300}{104} (0.4^{104}) (0.6^{196})
]
Вычисление биномиального коэффициента может быть затруднительным вручную, поэтому обычно используется программное обеспечение или калькуляторы для таких задач. В результате, вы получите значение вероятности.
На практике для выполнения вычислений рекомендуется использовать статистические программные пакеты (например, Python с библиотеками SciPy или R), так как они могут обрабатывать такие большие числа с высокой точностью.
