1 из углов прямоугольного треугольника равен 60 ° сумма гипотенузы и меньшего катетов равны 15 см, найдите гипотенузу.
Обозначим гипотенузу как \( c \), меньший катет как \( a \), а больший катет как \( b \). Угол в 60° означает, что меньший катет \( a \) и больший катет \( b \) связаны с гипотенузой через тригонометрические функции.
По определению тригонометрических функций для угла в 60°:
- Синус: \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Косинус: \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
В нашем прямоугольном треугольнике можно написать следующие равенства:
- \( a = c \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( b = c \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \)
Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \[ c + a = 15 \]
Подставим выражение для \( a \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \]
Объединим подобные: \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 15 \]
Вычислим \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Теперь у нас есть уравнение: \[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 15 \]
Умножим обе стороны на 2: \[ c (2 + \sqrt{3}) = 30 \]
Теперь решим его для \( c \): \[ c = \frac{30}{2 + \sqrt{3}} \]
Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число \( 2 - \sqrt{3} \): \[ c = \frac{30(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{30(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 30(2 - \sqrt{3}) \]
Теперь можем подставить числовые значения: \[ c = 30 \cdot (2 - \sqrt{3}) \approx 30 \cdot (2 - 1.732) \approx 30 \cdot 0.268 \approx 8.04 \text{ см} \]
Таким образом, гипотенуза \( c \) составляет примерно 8.04 см.
