Обозначим гипотенузу как ( c ), меньший катет как ( a ), а больший катет как ( b ). Угол в 60° означает, что меньший катет ( a ) и больший катет ( b ) связаны с гипотенузой через тригонометрические функции.
По определению тригонометрических функций для угла в 60°:
- Синус: ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- Косинус: ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} )
В нашем прямоугольном треугольнике можно написать следующие равенства:
- ( a = c \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )
- ( b = c \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} )
Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см:
[
c + a = 15
]
Подставим выражение для ( a ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15
]
Объединим подобные:
[
c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 15
]
Вычислим ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 15
]
Умножим обе стороны на 2:
[
c (2 + \sqrt{3}) = 30
]
Теперь решим его для ( c ):
[
c = \frac{30}{2 + \sqrt{3}}
]
Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число ( 2 - \sqrt{3} ):
[
c = \frac{30(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{30(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 30(2 - \sqrt{3})
]
Теперь можем подставить числовые значения:
[
c = 30 \cdot (2 - \sqrt{3}) \approx 30 \cdot (2 - 1.732) \approx 30 \cdot 0.268 \approx 8.04 \text{ см}
]
Таким образом, гипотенуза ( c ) составляет примерно 8.04 см.
