Задан статически определимый брус, работающий на кручение. Mо- дуль сдвига G = 40000 МПа, допускаемые напряжения принять рав- ными [τ ]=100 МПа; момент M = 10 кНм, длины участков…
Задан статически определимый брус, работающий на кручение. Mо- дуль сдвига G = 40000 МПа, допускаемые напряжения принять рав- ными [τ ]=100 МПа; момент M = 10 кНм, длины участков стержня а = 0,1 м. Подобрать диаметры поперечного сечения D и d (D/d=2), определить полный угол закручивания ϕполн. Построить эпюры кру- Mтящих моментов M, касательных напряжений на поверхности бруса τ, угловых перемещений сечений бруса ϕ
Для решения задачи нам потребуется использовать формулы, связанные с кручением бруса. Разберем шаги подробно.
1. Подбор диаметров поперечного сечения
Дано, что D/d = 2. Обозначим диаметр d, тогда:
\[ D = 2d \]
Момент кручения M связан с диаметрами уравнением:
\[ M = \frac{G \cdot J \cdot \varphi}{L} \]
где:
- \( J = \frac{\pi}{32} \cdot D^4 - \frac{\pi}{32} \cdot d^4 \) — полярный момент инерции;
- \( \varphi \) — угол закручивания;
- \( L \) — длина бруса.
2. Определение полярного момента инерции
Подставляя выражение для диаметров:
\[ J = \frac{\pi}{32} \left( (2d)^4 - d^4 \right) = \frac{\pi}{32} (16d^4 - d^4) = \frac{15\pi}{32} d^4 \]
3. Вычисление угла закручивания
Используем формулу для угла закручивания:
\[ \varphi = \frac{M L}{G J} \]
Подставляя выражения:
\[ \varphi = \frac{M L}{G \cdot \frac{15\pi}{32} d^4} \]
4. Нахождение максимального касательного напряжения
Касательные напряжения на поверхности бруса в зависимости от момента и полярного момента инерции можно выразить как:
\[ \tau = \frac{M \cdot r}{J} \]
где \( r = \frac{D}{2} = d \).
Подставляем полученное значение для J:
\[ \tau = \frac{M \cdot d}{\frac{15\pi}{32} d^4} = \frac{32 M}{15\pi d^3} \]
Теперь, приравняв к допустимому напряжению (100 МПа):
\[ 100 = \frac{32 \cdot 10 \cdot 10^3}{15\pi d^3} \]
Решаем это уравнение относительно \( d \):
\[ d^3 = \frac{32 \cdot 10 \cdot 10^3}{100 \cdot 15\pi} \]
5. Нахождение d
После решения уравнения получим значение диаметра \( d \). Затем находим \( D \):
\[ D = 2d \]
6. Расчет полного угла закручивания
Подставив все найденные значения в формулу для угла закручивания, получим его полное значение.
7. Построение эпюры
Теперь можем построить эпюры моментов и касательных напряжений:
- Эпюра крутящих моментов \( M(x) \) для стержня будет постоянной по всей длине, равной 10 кНм.
- Эпюра касательных напряжений \( \tau(x) \) будет также постоянной по всей длине, соответствующей максимальному значению, определенному ранее.
- Эпюра угловых перемещений \( \varphi(x) \) будет линейной, начиная от 0 до \( \varphi_{полн} \) в соответствии с длиной стержня.
Это общая схема решения задачи. Для более точных расчетов подставьте конкретные численные значения для получения final_results.
