Реши

Для решения задания 447 необходимо показать, что скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \) равно нулю, то есть векторы ортогональны.

Даны: \[ \mathbf{a} = \langle 3; 4; -5 \rangle \] \[ \mathbf{b} = \langle -5; 1; 6 \rangle \] \[ \mathbf{c} = \langle 1; 1; 1 \rangle \]

1. Найдём векторное произведение \( \mathbf{c} \times \mathbf{b} \):

   \[ \mathbf{c} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -5 & 1 & 6 \\ \end{vmatrix} \]

   Вычисляем определитель:

   \[ \mathbf{c} \times \mathbf{b} = \langle 1 \cdot 6 - 1 \cdot 1; -(1 \cdot 6 - 1 \cdot (-5)); 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-5) \rangle \]

   \[ = \langle 6 - 1; -(6 + 5); 1 + 5 \rangle = \langle 5; -11; 6 \rangle \]

2. Найдём скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \):

   \[ \mathbf{a} \cdot \langle 5; -11; 6 \rangle = 3 \cdot 5 + 4 \cdot (-11) + (-5) \cdot 6 \]

   \[ = 15 - 44 - 30 = -59 \]

Поскольку результат не равен нулю (-59), значит, начальные условия задания ошибочны, или где-то допущена ошибка.

Условие \( \angle (\mathbf{a}, \mathbf{c} \times \mathbf{b}) = 90^\circ \) не выполняется, либо необходимо перепроверить вычисления.