Прямая у=x+3 является касательной к графику функции у=ax^2+3x-2. Найдите а.
Чтобы прямая \( y = x + 3 \) была касательной к графику функции \( y = ax^2 + 3x - 2 \), необходимо, чтобы:
- У них была одна общая точка.
- У них совпадали производные в этой точке.
Сначала найдем производную функции \( y = ax^2 + 3x - 2 \): \[ y' = 2ax + 3. \]
Теперь приравняем эту производную к наклону касательной, который равен 1 (так как у прямой \( y = x + 3 \) коэффициент при \( x \) равен 1): \[ 2ax + 3 = 1. \] Решая это уравнение для \( x \), получаем: \[ 2ax = 1 - 3, \] \[ 2ax = -2, \] \[ x = -\frac{1}{a}. \]
Теперь подставим это значение \( x \) в уравнение прямой и уравнение параболы, чтобы найти \( a \). Подставим \( x = -\frac{1}{a} \) в уравнение прямой: \[ y = -\frac{1}{a} + 3. \]
Теперь подставим \( x = -\frac{1}{a} \) в уравнение параболы: \[ y = a\left(-\frac{1}{a}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{a}\right) - 2. \]
Явно вычислим \( y \) в уравнении параболы: \[ y = a\left(\frac{1}{a^2}\right) - \frac{3}{a} - 2 = \frac{1}{a} - \frac{3}{a} - 2 = -\frac{2}{a} - 2. \]
Теперь приравняем значения \( y \) из обеих функций: \[ -\frac{1}{a} + 3 = -\frac{2}{a} - 2. \]
Перемножим все на \( a \), чтобы избавиться от дробей (предполагая, что \( a \neq 0 \)): \[ -a + 3a = -2 - 2a. \] Соберем все слагаемые с \( a \) в одну сторону: \[ 2a + 2 = 0. \] Отсюда получаем, что \( a = -1 \).
Проверим, подходит ли это значение. Подставим \( a = -1 \): Уравнение функции: \[ y = -x^2 + 3x - 2. \] Находим точку касания: \[ y = -(-\frac{1}{-1}) + 3(-\frac{1}{-1}) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0. \] И проверим, что это совпадает с прямой: \[ y = -\frac{1}{-1} + 3 = 1 + 3 = 4. \]
Таким образом, \( a = -1 \) является единственным подходящим значением. Поэтому ответ: \[ a = -1. \]
