Докажите или опровергните (xy)→z≡(x→y) V (y→z)
Чтобы доказать или опровергнуть тождество \((xy) \rightarrow z \equiv (x \rightarrow y) \lor (y \rightarrow z)\), мы можем использовать таблицы истинности.
Для этого нужно рассмотреть все возможные комбинации значений переменных \(x\), \(y\) и \(z\). У нас есть 3 переменные, каждая из которых может принимать значения 0 (ложь) или 1 (истина). Всего существует \(2^3 = 8\) возможных комбинаций для переменных \(x\), \(y\) и \(z\).
Мы начнем с вычисления левой части \((xy) \rightarrow z\) и правой части \((x \rightarrow y) \lor (y \rightarrow z)\) для каждой комбинации.
| \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(xy\) | \((xy) \rightarrow z\) | \(x \rightarrow y\) | \(y \rightarrow z\) | \((x \rightarrow y) \lor (y \rightarrow z)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Теперь посмотрим на результаты для обеих частей:
- Левое выражение \((xy) \rightarrow z\): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1
- Правое выражение \((x \rightarrow y) \lor (y \rightarrow z)\): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
Из таблицы видно, что оба выражения имеют разные значения в одной строке (для \(x=1, y=1, z=0\)):
- Левое выражение дает 0, а правое — 1.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что \((xy) \rightarrow z\) не эквивалентно \((x \rightarrow y) \lor (y \rightarrow z)\). Тождество опровергнуто.
