Чтобы решить уравнение:
[
(1 + 4x - 1)^2 = \frac{x(4x^2 - 1)}{3}
]
начнем с упрощения и упорядочивания:
- Упростим левую часть:
[
(1 + 4x - 1)^2 = (4x)^2 = 16x^2
]
- Уравнение теперь становится:
[
16x^2 = \frac{x(4x^2 - 1)}{3}
]
- Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
48x^2 = x(4x^2 - 1)
]
- Раскроем скобки в правой части:
[
48x^2 = 4x^3 - x
]
- Приведем уравнение к виду:
[
4x^3 - 48x^2 - x = 0
]
- Вынесем (x) за скобки:
[
x(4x^2 - 48x - 1) = 0
]
Это уравнение даёт два возможных решения:
- (x = 0)
- Решим квадратное уравнение (4x^2 - 48x - 1 = 0) с помощью дискриминанта.
Для уравнения (4x^2 - 48x - 1 = 0):
Дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 2304 + 16 = 2320
]
Корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{2320}}{8}
]
Посчитаем (\sqrt{2320}):
Приблизительное значение: (\sqrt{2320} \approx 48.166)
Поэтому:
[
x_1 = \frac{48 + 48.166}{8} \approx 12.771
]
[
x_2 = \frac{48 - 48.166}{8} \approx -0.021
]
Итак, три решения для x: (x = 0), (x \approx 12.771), и (x \approx -0.021).
