даны числа 4 ,14, 24 ,...,94, 104 Докажите что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число затем из оставшихся ещё два затем ещё три и наконец-то ещё четыре числа Так что после…
Даны числа 4 ,14, 24 ,...,94, 104 Докажите что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число затем из оставшихся ещё два затем ещё три и наконец-то ещё четыре числа Так что после каждого ещё вычёркивания сумма оставшихся чисел делилось на 11
Рассмотрим последовательность чисел, которую вы привели: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Эти числа можно описать формулой \( a_n = 10n + 4 \), где \( n = 0, 1, 2, \ldots, 10 \). Всего у нас 11 чисел.
Для проверки условия задачи нам нужно рассмотреть суммы оставшихся чисел после каждого вычеркивания и проверить, делится ли она на 11.
Сумма исходных чисел: Для \( n = 0, 1, 2, ..., 10 \) сумма будет:
\[ S = 4 + 14 + 24 + ... + 104 = 10(0 + 1 + 2 + ... + 10) + 11 \cdot 4 = 10 \cdot \frac{10(10 + 1)}{2} + 11 \cdot 4 = 10 \cdot 55 + 44 = 550 + 44 = 594 \]
Следовательно, \( S \mod 11 = 594 \mod 11 = 1 \).
Вычеркивание чисел: Рассмотрим процесс вычеркивания. Мы вычеркиваем сначала 1 число, затем 2, 3 и, наконец, 4 числа. После каждого вычитания останется соответственно 10, 8, 5 и 1 число.
При каждом вычеркивании сумма оставшихся чисел изменяется, и важно, чтобы она оставалась кратной 11 после каждого шага. Однако, поскольку изначальная сумма \( S \) составляет 594 и \( S \mod 11 = 1 \), любое вычеркивание одного или более чисел, сумма которых также даст результат, не равный 11, не изменит остаток при делении на 11.
Сумма и делимость: После вычеркивания одного числа, будет
\[ S_1 \equiv S - x \pmod{11} \] где \( x \) — вычеркнутое число. Поскольку \( S \equiv 1 \pmod{11} \), то \( S_1 \equiv 1 - x \pmod{11} \). Чтобы \( S_1 \) делилась на 11, нам нужно \( x \equiv 1 \pmod{11} \), что невозможно, так как все числа в последовательности \( x \) дают свои остатки при делении на 11, которые не равны 1.
Аналогично будет отработано для следующих этапов вычеркивания, где мы сначала вычтем 2 числа, затем 3, затем 4. Мы будем получать остатки, которые не могут быть приведены к кратности 11, если исходный остаток равен 1.
Таким образом, можно заключить, что нельзя из этих чисел вычеркнуть сперва одно число, затем два, затем три и наконец четыре числа так, чтобы сумма оставшихся чисел делилась на 11 после каждого вычеркивания.
