Чтобы решить задачу, применим биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (стрельбы), два возможных исхода (попадание в мишень или промах) и известная вероятность успеха.
Давайте рассмотрим условия задачи:
- ( n = 14 ) (количество выстрелов)
- ( k = 8 ) (количество попаданий)
- Вероятность попасть в мишень за один выстрел ( p = 0.4 ) (так как стрелок в среднем попадает 4 из 10)
Формула для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( p ) — вероятность успеха (попадания).
- ( (1-p) ) — вероятность неудачи (промаха).
Подставим значения:
- Найдем биномиальный коэффициент ( C(14, 8) ):
[
C(14, 8) = \frac{14!}{8!(14-8)!} = \frac{14!}{8!6!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003
]
- Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^6
]
Значения ( p^k ) и ( (1-p)^{n-k} ):
[
(0.4)^8 \approx 0.00065536
]
[
(0.6)^6 = 0.046656
]
- Подставляем все в формулу:
[
P(X = 8) \approx 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656
]
- Рассчитаем:
[
P(X = 8) \approx 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656 \approx 0.0972
]
Округлив до тысячных, получаем:
[
P(X = 8) \approx 0.097
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз, составляет примерно 0.097.
