"Стрелок 14 раз стреляет по мишени. Найдите вероятность того, что он попадёт в мишень ровно 8 ращ, если ищвестно6, что он в среднем попадает четыре раза из десяти, ответ округлите…

Чтобы решить задачу, применим биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (стрельбы), два возможных исхода (попадание в мишень или промах) и известная вероятность успеха.

Давайте рассмотрим условия задачи:

• \( n = 14 \) (количество выстрелов)
• \( k = 8 \) (количество попаданий)
• Вероятность попасть в мишень за один выстрел \( p = 0.4 \) (так как стрелок в среднем попадает 4 из 10)

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
• \( p \) — вероятность успеха (попадания).
• \( (1-p) \) — вероятность неудачи (промаха).

Подставим значения:

1. Найдем биномиальный коэффициент \( C(14, 8) \):

\[ C(14, 8) = \frac{14!}{8!(14-8)!} = \frac{14!}{8!6!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 \]

2. Теперь подставим в формулу:

\[ P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^6 \]

Значения \( p^k \) и \( (1-p)^{n-k} \):

\[ (0.4)^8 \approx 0.00065536 \] \[ (0.6)^6 = 0.046656 \]

3. Подставляем все в формулу:

\[ P(X = 8) \approx 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656 \]

4. Рассчитаем:

\[ P(X = 8) \approx 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656 \approx 0.0972 \]

Округлив до тысячных, получаем:

\[ P(X = 8) \approx 0.097 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз, составляет примерно 0.097.