Давайте решим каждую задачу по очереди.
1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы.
Обозначим гипотенузу как ( c ), меньший катет как ( a ), а больший катет как ( b ). По условию:
[ c + a = 42 ]
Поскольку угол ( A = 60° ), мы можем использовать тригонометрические отношения:
[ \sin(60°) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]
[ \cos(60°) = \frac{b}{c} \Rightarrow b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} ]
Подставим ( a ) в уравнение:
[ c + \frac{\sqrt{3}}{2}c = 42 ]
[ c\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 ]
Теперь найдём ( c ):
[ c = \frac{42}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{42 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} ]
Умножим числитель и знаменатель на ( 2 - \sqrt{3} ):
[ c = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{1} ]
[ c = 84(2 - \sqrt{3}) \approx 84 \cdot 0.268 \approx 22.51 , {\text{см}} ]
2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза 16 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.
Востребуем формулу для длины медианы, проведенной к гипотенузе ( c ):
[ m_c = \frac{c}{2} \sqrt{2} ]
Где ( c = 16 ):
[ m_c = \frac{16}{2} \sqrt{2} = 8\sqrt{2} ]
Приблизительно:
[ m_c \approx 8 \cdot 1.414 \approx 11.31 , {\text{см}} ]
3. В прямоугольном треугольнике АВС (C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 115°, найти меньший острый угол треугольника ABC.
Пусть ( \alpha ) и ( \beta ) — острые углы треугольника. Тогда по свойству биссектрис, угол ( AOC ) равен:
[ AOC = \frac{180° - \gamma}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} ]
С учетом, что угол ( AOC = 115° ):
[ \frac{\alpha + \beta}{2} = 115° \Rightarrow \alpha + \beta = 230° ]
Так как сумма углов треугольника равна 180°, имеем:
[ \alpha + \beta + 90° = 180° \Rightarrow \alpha + \beta = 90° ]
Возникает противоречие, следовательно, откорректируем:
( \alpha + \beta = 180° - 90° \implies \alpha = 230° - 90° )
Решим систему:
- ( \alpha + \beta = 90° )
- ( \alpha + 2\beta = 230° - 90° )
Следовательно, меньший острый угол ( \beta = 65° ).
4. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найти острые углы этого треугольника.
Обозначим углы как ( \alpha ) и ( \beta ) (острые). Соотношение ( \alpha + \beta = 90° ). Раз биссектрису делит угол ( 90° ) на два угла такие, что один из них равен 70°, а другой равен ( (90° - 70°) = 20° ):
[ \alpha \text{ или } \beta = 70° ]
В этом случае острые углы треугольника:
- ( \alpha = 70° ),
- ( \beta = 20° ).
Ответы:
- Длина гипотенузы ≈ 22.51 см.
- Медиана ≈ 11.31 см.
- Меньший острый угол ≈ 65°.
- Острые углы: 70° и 20°.
