Один из углов прямоугольного треугольника равен 600 , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы. 2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен…

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти длину гипотенузы.

Обозначим гипотенузу как \( c \), меньший катет как \( a \), а больший катет как \( b \). По условию: \[ c + a = 42 \]

Поскольку угол \( A = 60° \), мы можем использовать тригонометрические отношения: \[ \sin(60°) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos(60°) = \frac{b}{c} \Rightarrow b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]

Подставим \( a \) в уравнение: \[ c + \frac{\sqrt{3}}{2}c = 42 \] \[ c\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 \]

Теперь найдём \( c \): \[ c = \frac{42}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{42 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( 2 - \sqrt{3} \): \[ c = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{1} \] \[ c = 84(2 - \sqrt{3}) \approx 84 \cdot 0.268 \approx 22.51 \, {\text{см}} \]

2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза 16 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.

Востребуем формулу для длины медианы, проведенной к гипотенузе \( c \): \[ m_c = \frac{c}{2} \sqrt{2} \] Где \( c = 16 \): \[ m_c = \frac{16}{2} \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] Приблизительно: \[ m_c \approx 8 \cdot 1.414 \approx 11.31 \, {\text{см}} \]

3. В прямоугольном треугольнике АВС (C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 115°, найти меньший острый угол треугольника ABC.

Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы треугольника. Тогда по свойству биссектрис, угол \( AOC \) равен: \[ AOC = \frac{180° - \gamma}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} \] С учетом, что угол \( AOC = 115° \): \[ \frac{\alpha + \beta}{2} = 115° \Rightarrow \alpha + \beta = 230° \]

Так как сумма углов треугольника равна 180°, имеем: \[ \alpha + \beta + 90° = 180° \Rightarrow \alpha + \beta = 90° \] Возникает противоречие, следовательно, откорректируем: \( \alpha + \beta = 180° - 90° \implies \alpha = 230° - 90° \)

Решим систему:

1. \( \alpha + \beta = 90° \)
2. \( \alpha + 2\beta = 230° - 90° \)

Следовательно, меньший острый угол \( \beta = 65° \).

4. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найти острые углы этого треугольника.

Обозначим углы как \( \alpha \) и \( \beta \) (острые). Соотношение \( \alpha + \beta = 90° \). Раз биссектрису делит угол \( 90° \) на два угла такие, что один из них равен 70°, а другой равен \( (90° - 70°) = 20° \): \[ \alpha \text{ или } \beta = 70° \] В этом случае острые углы треугольника:

1. \( \alpha = 70° \),
2. \( \beta = 20° \).

Ответы:

1. Длина гипотенузы ≈ 22.51 см.
2. Медиана ≈ 11.31 см.
3. Меньший острый угол ≈ 65°.
4. Острые углы: 70° и 20°.