На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точка P и Q - середины рёбер BC и AD соответственно. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Чтобы найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \( MPQ \) разбивает пирамиду \( SABCD \), давайте проанализируем расположение всех точек и определим, как плоскость \( MPQ \) делит пирамиду. ### Данные и предположения 1. Пирамида имеет основание \( ABCD \) и вершину \( S \). 2. Обозначим длину ребра \( SD \) как \( h \). Так как \( SM:MD = 2:1 \), то точки \( M \) делят ребро \( SD \) в отношении \( 2:1 \). Если точка \( S \) имеет координаты \( (0, 0, h) \), тогда \( D \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \). Координаты точки \( M \) будут \( (0, 0, \frac{2}{3}h) \). 3. Пусть \( A(-a, -a, 0) \), \( B(a, -a, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(-a, a, 0) \). Тогда середины рёбер: - \( P = \frac{B + C}{2} = \left( a, 0, 0 \right) \) - \( Q = \frac{A + D}{2} = \left( 0, -a, 0 \right) \) ### Уравнение плоскости \( MPQ \) Плоскость, проходящая через точки \( M (0, 0, \frac{2}{3}h) \), \( P (a, 0, 0) \) и \( Q (0, -a, 0) \). Для определения уравнения плоскости воспользуемся векторным произведением. Сначала найдем два вектора в плоскости. - Вектор \( \overrightarrow{MP} = \left( a - 0, 0 - 0, 0 - \frac{2}{3}h \right) = (a, 0, -\frac{2}{3}h) \) - Вектор \( \overrightarrow{MQ} = \left( 0 - 0, -a - 0, 0 - \frac{2}{3}h \right) = (0, -a, -\frac{2}{3}h) \) Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости. \[ \overrightarrow{MP} \times \overrightarrow{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -\frac{2}{3}h \\ 0 & -a & -\frac{2}{3}h \end{vmatrix} \] Вычисляя определитель, мы получаем: \[ = \mathbf{i} \left( 0 \cdot -\frac{2}{3}h - (-a) \cdot -\frac{2}{3}h \right) - \mathbf{j} \left( a \cdot -\frac{2}{3}h - 0 \cdot 0 \right) + \mathbf{k} \left( a \cdot -a - 0 \cdot 0 \right) \] \[ = -\frac{2}{3}ah \mathbf{i} + \frac{2}{3}ah \mathbf{j} - a^2 \mathbf{k} \] Таким образом, уравнение плоскости принимает вид: \[ -\frac{2}{3}ah (x - 0) + \frac{2}{3}ah (y + a) - a^2 z = 0 \] ### Отношение объёмов Плоскость \( MPQ \) делит пирамиду \( SABCD \) на два многогранника.Объём пирамиды можно выразить как \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h \). Теперь определим высоту каждого из получившихся многогранников. Плоскость \( MPQ \) проходит через уровень \( z = 0 \), что относительно высоты \( h \), проводимой через точку \( M \). Как мы видим, одна часть имеет высоту \( z_M = \frac{2}{3}h \), а другая — \( z_D = h - \frac{2}{3}h = \frac{1}{3}h \). Отношение объёмов будет равно отношению их высот, то есть: \[ V_1 : V_2 = \text{(высота первого многогранника)} : \text{(высота второго многогранника)} = \frac{2}{3}h : \frac{1}{3}h = 2:1 \] ### Ответ Итак, отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \( MPQ \) разбивает пирамиду \( SABCD \), равно \( \boxed{2:1} \).