На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точка P и Q - середины рёбер BC и AD соответственно. Найдите отношение…

Чтобы найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \( MPQ \) разбивает пирамиду \( SABCD \), давайте проанализируем расположение всех точек и определим, как плоскость \( MPQ \) делит пирамиду.

Данные и предположения

1. Пирамида имеет основание \( ABCD \) и вершину \( S \).
2. Обозначим длину ребра \( SD \) как \( h \). Так как \( SM:MD = 2:1 \), то точки \( M \) делят ребро \( SD \) в отношении \( 2:1 \). Если точка \( S \) имеет координаты \( (0, 0, h) \), тогда \( D \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \). Координаты точки \( M \) будут \( (0, 0, \frac{2}{3}h) \).
3. Пусть \( A(-a, -a, 0) \), \( B(a, -a, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(-a, a, 0) \). Тогда середины рёбер:
   • \( P = \frac{B + C}{2} = \left( a, 0, 0 \right) \)
   • \( Q = \frac{A + D}{2} = \left( 0, -a, 0 \right) \)

Уравнение плоскости \( MPQ \)

Плоскость, проходящая через точки \( M (0, 0, \frac{2}{3}h) \), \( P (a, 0, 0) \) и \( Q (0, -a, 0) \).

Для определения уравнения плоскости воспользуемся векторным произведением. Сначала найдем два вектора в плоскости.

• Вектор \( \overrightarrow{MP} = \left( a - 0, 0 - 0, 0 - \frac{2}{3}h \right) = (a, 0, -\frac{2}{3}h) \)
• Вектор \( \overrightarrow{MQ} = \left( 0 - 0, -a - 0, 0 - \frac{2}{3}h \right) = (0, -a, -\frac{2}{3}h) \)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости.

\[ \overrightarrow{MP} \times \overrightarrow{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -\frac{2}{3}h \\ 0 & -a & -\frac{2}{3}h \end{vmatrix} \]

Вычисляя определитель, мы получаем:

\[ = \mathbf{i} \left( 0 \cdot -\frac{2}{3}h - (-a) \cdot -\frac{2}{3}h \right) - \mathbf{j} \left( a \cdot -\frac{2}{3}h - 0 \cdot 0 \right) + \mathbf{k} \left( a \cdot -a - 0 \cdot 0 \right) \]

\[ = -\frac{2}{3}ah \mathbf{i} + \frac{2}{3}ah \mathbf{j} - a^2 \mathbf{k} \]

Таким образом, уравнение плоскости принимает вид:

\[ -\frac{2}{3}ah (x - 0) + \frac{2}{3}ah (y + a) - a^2 z = 0 \]

Отношение объёмов

Плоскость \( MPQ \) делит пирамиду \( SABCD \) на два многогранника.Объём пирамиды можно выразить как \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h \).

Теперь определим высоту каждого из получившихся многогранников. Плоскость \( MPQ \) проходит через уровень \( z = 0 \), что относительно высоты \( h \), проводимой через точку \( M \).

Как мы видим, одна часть имеет высоту \( z_M = \frac{2}{3}h \), а другая — \( z_D = h - \frac{2}{3}h = \frac{1}{3}h \).

Отношение объёмов будет равно отношению их высот, то есть:

\[ V_1 : V_2 = \text{(высота первого многогранника)} : \text{(высота второго многогранника)} = \frac{2}{3}h : \frac{1}{3}h = 2:1 \]

Ответ

Итак, отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \( MPQ \) разбивает пирамиду \( SABCD \), равно \( \boxed{2:1} \).