Отрезки MN и PQ - диаметры окружности. Докажите, что хорды MQ и PN равны.

Чтобы доказать, что хорды \( MQ \) и \( PN \) равны, воспользуемся свойствами окружности и диаметра.

1. Обозначим центр окружности как точку \( O \). Поскольку отрезки \( MN \) и \( PQ \) являются диаметрами, то \( O \) лежит на обоих отрезках.

2. Поскольку \( MN \) и \( PQ \) - диаметры, то \( MO = ON \) и \( PO = OQ \). Обозначим длину радиуса как \( R \). Тогда: \[ MO = ON = PO = OQ = R \]

3. Рассмотрим треугольники \( OMQ \) и \( OPN \). В этих треугольниках известно, что:

   • \( OM = OP = R \) (радиусы окружности)
   • \( OQ = ON = R \) (радиусы окружности)

4. Угол \( \angle OMQ \) равен углу \( \angle OPN \), так как оба угла являются углами, основанными на диаметре и опираются на одну и ту же дугу окружности. Мы знаем, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

5. Таким образом, треугольники \( OMQ \) и \( OPN \) равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу).

6. Из равенства треугольников следует, что: \[ MQ = PN \]

Таким образом, мы доказали, что хорды \( MQ \) и \( PN \) равны.