x²+4x-21>0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения
Для начала мы можем решить соответствующее квадратное уравнение, равное нулю:
\[ x^2 + 4x - 21 = 0 \]
Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -21 \).
- Находим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]
- Теперь вычислим корни:
\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]
Теперь мы имеем два корня: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -7 \).
Шаг 2: Определить интервалы
Корни \( x_1 \) и \( x_2 \) делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty; -7) \)
- \( (-7; 3) \)
- \( (3; +\infty) \)
Шаг 3: Проверить знак функции на каждом интервале
Теперь нужно проверить, на каких интервалах неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \) выполняется. Для этого выбираем тестовые значения из каждого интервала:
- Для интервала \( (-\infty; -7) \), например, возьмём \( x = -8 \):
\[ (-8)^2 + 4(-8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11 > 0 \]
- Для интервала \( (-7; 3) \), например, возьмём \( x = 0 \):
\[ 0^2 + 4(0) - 21 = -21 < 0 \]
- Для интервала \( (3; +\infty) \), например, возьмём \( x = 4 \):
\[ 4^2 + 4(4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 > 0 \]
Шаг 4: Записать ответ
Неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \) выполняется на интервалах:
\[ (-\infty; -7) \quad \text{и} \quad (3; +\infty) \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty) \]
Это означает, что для значений \( x \) в указанных интервалах неравенство выполняется.
