X²+4x-21>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \), следуйте этим шагам: ### Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения Для начала мы можем решить соответствующее квадратное уравнение, равное нулю: \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \] Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -21 \). 1. Находим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \] 2. Теперь вычислим корни: \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] Теперь мы имеем два корня: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -7 \). ### Шаг 2: Определить интервалы Корни \( x_1 \) и \( x_2 \) делят числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty; -7) \) 2. \( (-7; 3) \) 3. \( (3; +\infty) \) ### Шаг 3: Проверить знак функции на каждом интервале Теперь нужно проверить, на каких интервалах неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \) выполняется. Для этого выбираем тестовые значения из каждого интервала: 1. Для интервала \( (-\infty; -7) \), например, возьмём \( x = -8 \): \[ (-8)^2 + 4(-8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11 > 0 \] 2. Для интервала \( (-7; 3) \), например, возьмём \( x = 0 \): \[ 0^2 + 4(0) - 21 = -21 < 0 \] 3. Для интервала \( (3; +\infty) \), например, возьмём \( x = 4 \): \[ 4^2 + 4(4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 > 0 \] ### Шаг 4: Записать ответ Неравенство \( x^2 + 4x - 21 > 0 \) выполняется на интервалах: \[ (-\infty; -7) \quad \text{и} \quad (3; +\infty) \] Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty) \] Это означает, что для значений \( x \) в указанных интервалах неравенство выполняется.