Давайте разберемся с обеими задачами по очереди.
Задача 1:
Условия:
Гипотенуза прямоугольного треугольника ( c = 73 ) см, площадь ( S = 1320 ) см².
Найти: Катеты ( a ) и ( b ).
Шаг 1: Используем формулу площади треугольника.
Для прямоугольного треугольника площадь можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставим известные значения:
[
1320 = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Упрощаем уравнение:
[
a \times b = 2640 \quad (1)
]
Шаг 2: Используем теорему Пифагора.
Для прямоугольного треугольника справедливо:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим значение гипотенузы:
[
a^2 + b^2 = 73^2 = 5329 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
Шаг 3: Выразим ( b ) через ( a ) из уравнения (1):
[
b = \frac{2640}{a} \quad (3)
]
Шаг 4: Подставим (3) в (2).
[
a^2 + \left(\frac{2640}{a}\right)^2 = 5329
]
Шаг 5: Упростим и получим квадратное уравнение.
[
a^2 + \frac{6969600}{a^2} = 5329
]
Умножим все на ( a^2 ) (принимая во внимание, что ( a \neq 0 )):
[
a^4 - 5329a^2 + 6969600 = 0
]
Шаг 6: Сделаем замену.
Обозначим ( x = a^2 ):
[
x^2 - 5329x + 6969600 = 0
]
Шаг 7: Найдем дискриминант.
[
D = (-5329)^2 - 4 \times 1 \times 6969600 = 28433841 - 27878400 = 55541
]
Шаг 8: Находим корни.
[
x_{1,2} = \frac{5329 \pm \sqrt{55541}}{2}
]
Решив, получаем два значения для ( a^2 ). После вычислений, найдем ( a ) и ( b ):
[
a \approx 48 \text{ см, } b \approx 55 \text{ см}
]
Ответ на первую задачу:
Катеты равны примерно 48 см и 55 см.
Задача 2:
Условия:
Боковые стороны равны ( 1 ) м, угол между ними ( 70^\circ ).
Найти: Площадь.
Шаг 1: Используем формулу для площади треугольника.
Для любого треугольника площадь можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)
]
Поскольку в нашем случае ( a = b = 1 ) м и ( C = 70^\circ ):
[
S = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin(70^\circ)
]
Шаг 2: Находим ( \sin(70^\circ) ).
Значение ( \sin(70^\circ) ) примерно равно ( 0.9397 ).
Шаг 3: Подставим значение.
[
S = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 0.9397 = \frac{0.9397}{2} \approx 0.46985 \text{ м}^2
]
Ответ на вторую задачу:
Площадь равнобедренного треугольника составляет примерно ( 0.47 ) м².
