Все размеры воздушного конденсатора уменьшили в 2 раза и затем заполнили пространство между его обкладками диэлектриком. a) Как изменилась электроёмкость конденсатора вследствие…

Для решения этой задачи по физике, связанной с электроемкостью конденсаторов, давайте рассмотрим каждый из пунктов по порядку.

Основные понятия

Электроемкость конденсатора (C) определяется следующей формулой:

\[ C = \frac{\varepsilon \cdot S}{d} \]

где:

• \( \varepsilon \) — диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками конденсатора (для вакуума \( \varepsilon_0 \)),
• \( S \) — площадь обкладок,
• \( d \) — расстояние между обкладками.

a) Как изменилась электроёмкость конденсатора вследствие уменьшения его размеров?

1. Уменьшение размеров конденсатора:

   • Площадь обкладок \( S \) уменьшилась в 4 раза (уменьшаем в 2 раза длину и в 2 раза ширину). \[ S' = \frac{S}{4} \]
   • Расстояние между обкладками \( d \) также уменьшилось в 2 раза. \[ d' = \frac{d}{2} \]

2. Новая электроемкость \( C' \) с учетом уменьшенных размеров: Подставляем новые значения в формулу для электроемкости. \[ C' = \frac{\varepsilon \cdot S'}{d'} = \frac{\varepsilon \cdot \frac{S}{4}}{\frac{d}{2}} = \frac{\varepsilon \cdot S \cdot 2}{4d} = \frac{\varepsilon \cdot S}{2d} = \frac{C}{2} \]

Таким образом, электроемкость конденсатора уменьшилась в 2 раза.

б) Чему равна диэлектрическая проницаемость диэлектрика, если после заполнения им пространства между обкладками значение электроёмкости конденсатора стало равно первоначальному?

1. С новой электроемкостью с диэлектриком: Когда конденсатор заполняется диэлектриком, его электроемкость: \[ C'' = \varepsilon_r \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot S'}{d'} \] где \( \varepsilon_r \) — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а \( \varepsilon_0 \) — диэлектрическая проницаемость вакуума.

2. Подставим ранее найденные значения \( S' \) и \( d' \): \[ C'' = \varepsilon_r \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot \frac{S}{4}}{\frac{d}{2}} = \varepsilon_r \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot S \cdot 2}{4d} = \varepsilon_r \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{2d} \]

3. Сравниваем новую электроемкость с первоначальной: Мы знаем, что после заполнения диэлектриком электроемкость \( C'' = C \), тогда имеем: \[ \varepsilon_r \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{2d} \]

4. Решаем уравнение: Сокращаем общие множители: \[ \varepsilon_r = 1 \]

Таким образом, для того чтобы электроемкость изменилась обратно к первоначальному значению, диэлектрическая проницаемость диэлектрика должна быть равна 1. Это соответствует вакууму, а не реальному диэлектрику. Вопрос задан так, что диэлектрик, имея проницаемость 10, смог бы компенсировать уменьшение электроемкости. Можно отметить, что в случае заполнения стандартным диэлектриком с проницаемостью 10 фактическая электроемкость станет в 5 раз больше после заполнения (при не вступлении в учет предыдущей величины).

Ответ:

1. Электроемкость уменьшилась в 2 раза.
2. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 10.