решить дз

Давайте разберём каждую из задач по отдельности.

Задача 1

Найти восьмой член арифметической прогрессии, если \( a_1 = 7 \), \( d = 4 \).

Решение:

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Подставим данные: \[ a_8 = 7 + (8-1) \cdot 4 = 7 + 7 \cdot 4 = 7 + 28 = 35 \]

Восьмой член равно \( 35 \).

Задача 2

Найти сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии, если \( a_1 = 8 \), \( a_{16} = 4 \).

Решение:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Подставим: \[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + 4) = 8 \cdot 12 = 96 \]

Сумма шестнадцати членов равна \( 96 \).

Задача 3

Найдите n-ый член геометрической прогрессии, если \( b_1 = 0.25 \), \( q = 0.2 \).

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Для нахождения общего вида подставляем данные: \[ b_n = 0.25 \cdot 0.2^{n-1} \]

Задача 4

Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если \( b_1 = 11 \), \( q = 2 \).

Решение:

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставим: \[ S_5 = 11 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 11 \cdot (32 - 1) = 11 \cdot 31 = 341 \]

Сумма первых пяти членов равна \( 341 \).

Задача 5

Является ли число 104 членом арифметической прогрессии, если \( a_1 = 5 \), \( d = 7 \).

Решение:

Проверим, является ли 104 членом данной прогрессии. Для этого используем формулу n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Примерное равенство: \[ 104 = 5 + (n-1) \cdot 7 \]

Решим уравнение: \[ 104 - 5 = 7(n-1) \] \[ 99 = 7(n-1) \] \[ 99 = 7n - 7 \] \[ 106 = 7n \] \[ n = \frac{106}{7} \approx 15.14 \]

Так как n не целое, 104 не является членом этой прогрессии.

Задача 6

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если \( b = 81 \), \( b_5 = 36 \).

Решение:

Для начала найдём знаменатель \( q \) геометрической прогрессии, используя формулу: \[ b_5 = b_1 \cdot q^{4} \]

Подставим и решим: \[ 36 = 81 \cdot q^{4} \] \[ q^4 = \frac{36}{81} \] \[ q^4 = \frac{4}{9} \] \[ q = \left(\frac{2}{3}\right) \]

Теперь найдём сумму пяти членов: \[ S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1} \]

Вычислим: \[ S_5 = 81 \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5 - 1}{\frac{2}{3} - 1} \]

Вычисления требуются: \[ q^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \]

\[ S_5 = 81 \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1} \] \[ S_5 = 81 \cdot \frac{\frac{32}{243} - \frac{243}{243}}{-\frac{1}{3}} \] \[ S_5 = 81 \cdot \frac{-\frac{211}{243}}{-\frac{1}{3}} \] \[ S_5 = 81 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = 81 \cdot \frac{211}{81} \] \[ S_5 = 211 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов равна \( 211 \).