Ответ
Давайте разберём данную задачу, поскольку она имеет отношение к испытаниям Бернулли. Это классическая задача по теории вероятностей.
Условие задачи: Какова вероятность, что мишень будет поражена ровно 4 раза из 10 выстрелов, если вероятность попадания в мишень за один выстрел составляет 0,5?
Используем формулу Бернулли:
Формула для вычисления вероятности того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях записывается следующим образом:
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \) (биномиальный коэффициент),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
- \( n \) — общее число испытаний,
- \( k \) — число успехов, которое необходимо получить.
В этой задаче:
- \( n = 10 \) (10 выстрелов),
- \( k = 4 \) (ровно 4 попадания),
- \( p = 0,5 \) (вероятность попадания за один выстрел).
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C_{10}^4 \):
\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
- Вычислим вероятность по формуле:
\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0,5)^4 \cdot (0,5)^{10-4} \]
Упростим:
\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0,5)^{4+6} = 210 \cdot (0,5)^{10} \]
\[ = 210 \cdot \left(\frac{1}{1024}\right) \approx 0,2051 \]
Таким образом, вероятность того, что мишень будет поражена ровно 4 раза, составляет \( 0,2051 \) (округлённо до десятитысячных).
