Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=3x^5-100x^3+960x-150 на отрезке [-3: 3].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = 3x^5 - 100x^3 + 960x - 150 \) на отрезке \( [-3, 3] \), нам нужно следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции

Для того чтобы найти экстремумы функции (максимумы и минимумы), нам нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Функция: \[ y = 3x^5 - 100x^3 + 960x - 150 \]

Найдём производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^5) - \frac{d}{dx}(100x^3) + \frac{d}{dx}(960x) - \frac{d}{dx}(150) \] \[ y' = 15x^4 - 300x^2 + 960 \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может иметь экстремумы: \[ 15x^4 - 300x^2 + 960 = 0 \]

Упрощаем уравнение, разделив на 15: \[ x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \]

Обозначим \( z = x^2 \). Тогда у нас получается квадратное уравнение: \[ z^2 - 20z + 64 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \]

Теперь найдём корни уравнения: \[ z_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} \] \[ z_1 = \frac{32}{2} = 16, \quad z_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь вернемся к переменной \( x \): \[ x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \text{ или } x = -4 \; (\text{не входит в отрезок } [-3, 3]) \] \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = -2 \]

Таким образом, критические точки на отрезке \( [-3, 3] \) это \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Шаг 3: Вычислим значение функции в критических точках и границах отрезка

Теперь нужно вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Вычеслим \( y \):

1. \( x = -3 \): \[ y(-3) = 3(-3)^5 - 100(-3)^3 + 960(-3) - 150 \] \[ = 3(-243) + 100(27) - 2880 - 150 \] \[ = -729 + 2700 - 2880 - 150 = -59 \]

2. \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^5 - 100(-2)^3 + 960(-2) - 150 \] \[ = 3(-32) + 100(8) - 1920 - 150 \] \[ = -96 + 800 - 1920 - 150 = -366 \]

3. \( x = 2 \): \[ y(2) = 3(2)^5 - 100(2)^3 + 960(2) - 150 \] \[ = 3(32) - 100(8) + 1920 - 150 \] \[ = 96 - 800 + 1920 - 150 = 1066 \]

4. \( x = 3 \): \[ y(3) = 3(3)^5 - 100(3)^3 + 960(3) - 150 \] \[ = 3(243) - 100(27) + 2880 - 150 \] \[ = 729 - 2700 + 2880 - 150 = 759 \]

Шаг 4: Сравним все значения

Теперь сравним все значения функции:

• \( y(-3) = -59 \)
• \( y(-2) = -366 \)
• \( y(2) = 1066 \)
• \( y(3) = 759 \)

Результат

На отрезке \( [-3, 3] \):

• Наибольшее значение функции: \( y(2) = 1066 \)
• Наименьшее значение функции: \( y(-2) = -366 \)

Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) на отрезке \( [-3, 3] \) равно 1066, а наименьшее значение — -366.