Даны координаты точек A ( 3 ; 1 ) , A(3;1), B ( 9 ; 4 ) B(9;4) и C ( 7 ; − 7 ) C(7;−7) параллелограмма A B C D . ABCD. Найдите координаты точки D . D.

Чтобы найти координаты точки \( D \) параллелограмма \( ABCD \), зная координаты точек \( A \), \( B \) и \( C \), воспользуемся свойством параллелограмма. Параллелограмм обладает свойством, что его диагонали делятся пополам.

Запишем координаты точек:

• \( A(3; 1) \)
• \( B(9; 4) \)
• \( C(7; -7) \)

Обозначим координаты точки \( D \) как \( D(x; y) \).

Шаг 1: Найдем центр диагоналей

Для начала найдем центр отрезка \( AC \) и \( BD \). Поскольку диагонали в параллелограмме пересекаются в одной точке, центр отрезка \( AC \) будет совпадать с центром отрезка \( BD \).

Центр отрезка \( AC \) можно найти по формуле: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]

Подставим координаты: \[ M_{AC} = \left( \frac{3 + 7}{2}; \frac{1 + (-7)}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}; \frac{-6}{2} \right) = (5; -3) \]

Шаг 2: Запишем координаты точки \( D \)

Теперь для отрезка \( BD \): \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2} \right) \] В нашем случае \( M_{AC} = M_{BD} \), тогда: \[ (5; -3) = \left( \frac{9 + x_D}{2}; \frac{4 + y_D}{2} \right) \]

Это дает две системы уравнений:

1. \(\frac{9 + x_D}{2} = 5\)
2. \(\frac{4 + y_D}{2} = -3\)

Шаг 3: Решим системы

Решим первое уравнение: \[ 9 + x_D = 10 \implies x_D = 10 - 9 \implies x_D = 1 \]

Решим второе уравнение: \[ 4 + y_D = -6 \implies y_D = -6 - 4 \implies y_D = -10 \]

Шаг 4: Итог

Таким образом, координаты точки \( D \) равны: \[ D(1; -10) \]

Ответ

Координаты точки \( D \) параллелограмма \( ABCD \) равны \( D(1; -10) \).