. Шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. Растяжение пру жины уменьшается при этом в 1,5 раза. Вычислите плотность материала шарика
Для решения этой задачи давайте воспользуемся законами механики и формулой Архимеда.
Шаг 1: Понять задачу
У нас есть шарик, который был подвешен на пружине, и при опускании в воду растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза. Нам нужно вычислить плотность материала шарика.
Шаг 2: Формулировка основного уравнения
Сначала запишем основные моменты, которые нам понадобятся:
Сила, действующая на пружину, равна весу шарика, когда он висит в воздухе:
\[ F_{\text{пружины}} = m \cdot g \]
где:
\( F_{\text{пружины}} \) — сила натяжения пружины,
\( m \) — масса шарика,
\( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/c}^2 \)).
Когда шарик находится в воде, на него действует сила Архимеда, которая равна весу вытесненной воды.
Шаг 3: Изменение растяжения пружины
Если известно, что растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза, это значит, что сила, действующая на пружину в воде:
\[ F_{\text{вода}} = \frac{F_{\text{пружины}}}{1.5} \]
Шаг 4: Уравнение в воде
Когда шарик опускается в воду, на него действует вес, который уравновешивается силой упругости пружины и силой Архимеда.
Сила Архимеда (вычисляется как вес вытесненной воды) определяется как:
\[ F_{\text{А}} = V \cdot \rho_{\text{вода}} \cdot g \]
где:
- \( V \) — объем шарика,
- \( \rho_{\text{вода}} \) — плотность воды (примерно \( 1000 \, \text{кг/м}^3 \)).
При находящемся в равновесии шарике в воде, можно записать:
\[ m \cdot g = \frac{m \cdot g}{1.5} + V \cdot \rho_{\text{вода}} \cdot g \]
Шаг 5: Упрощение уравнения
Упростим уравнение, разделим на \( g \):
\[ m = \frac{m}{1.5} + V \cdot \rho_{\text{вода}} \]
Шаг 6: Подставим массу через плотность
Плотность материала шарика \( \rho \) может быть выражена через массу и объем:
\[ m = V \cdot \rho \]
Подставим это в уравнение:
\[ V \cdot \rho = \frac{V \cdot \rho}{1.5} + V \cdot \rho_{\text{вода}} \]
Уберем \( V \) (при условии, что объем не равен нулю):
\[ \rho = \frac{\rho}{1.5} + \rho_{\text{вода}} \]
Шаг 7: Выразим плотность
Умножим всё уравнение на \( 1.5 \) для удобства:
\[ 1.5 \cdot \rho = \rho + 1.5 \cdot \rho_{\text{вода}} \]
В итоге:
\[ 0.5 \cdot \rho = 1.5 \cdot \rho_{\text{вода}} \]
Следовательно:
\[ \rho = 3 \cdot \rho_{\text{вода}} = 3 \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 = 3000 \, \text{кг/м}^3 \]
Ответ
Плотность материала шарика составляет \( 3000 \, \text{кг/м}^3 \).
Таким образом, мы поняли, как работает принцип Архимеда и как связано растяжение пружины с плавающими телами.
