решить
Давайте решим задачу:
Задача: Найти угол между лучом \( OM \) и положительной полуосью \( OX \), если \( M(3\sqrt{3}, 3) \).
Понять геометрию задачи:
- Точка \( O \) — это начало координат (0, 0).
- Точка \( M \) имеет координаты \( (3\sqrt{3}, 3) \).
- Луч \( OM \) — это вектор от \( O \) до \( M \).
Определение угла:
Угол между двумя векторами можно найти, используя их скалярное произведение. В данном случае, нужно найти угол между вектором \( \vec{OM} = (3\sqrt{3}, 3) \) и осью \( OX \) (вектор \( \vec{i} = (1, 0) \)).
Скалярное произведение:
Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) вычисляется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \]
Для векторов \( \vec{OM} = (3\sqrt{3}, 3) \) и \( \vec{i} = (1, 0) \): \[ \vec{OM} \cdot \vec{i} = 3\sqrt{3} \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 3\sqrt{3} \]
Длины векторов:
Длина вектора \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) вычисляется как: \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]
Длина \( \vec{OM} \): \[ |\vec{OM}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \]
Длина \( \vec{i} \): \[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]
Формула для косинуса угла:
Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами: \[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]
Для наших векторов: \[ \cos\theta = \frac{3\sqrt{3}}{6 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Определение угла:
Угол \( \theta \), для которого \( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \), равен \( 30^\circ \).
Ответ: Угол между лучом \( OM \) и положительной полуосью \( OX \) равен \( 30^\circ \).
