Решить

Давайте решим задачу: **Задача:** Найти угол между лучом \( OM \) и положительной полуосью \( OX \), если \( M(3\sqrt{3}, 3) \). 1. **Понять геометрию задачи:** - Точка \( O \) — это начало координат (0, 0). - Точка \( M \) имеет координаты \( (3\sqrt{3}, 3) \). - Луч \( OM \) — это вектор от \( O \) до \( M \). 2. **Определение угла:** Угол между двумя векторами можно найти, используя их скалярное произведение. В данном случае, нужно найти угол между вектором \( \vec{OM} = (3\sqrt{3}, 3) \) и осью \( OX \) (вектор \( \vec{i} = (1, 0) \)). 3. **Скалярное произведение:** Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) вычисляется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \] Для векторов \( \vec{OM} = (3\sqrt{3}, 3) \) и \( \vec{i} = (1, 0) \): \[ \vec{OM} \cdot \vec{i} = 3\sqrt{3} \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 3\sqrt{3} \] 4. **Длины векторов:** Длина вектора \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) вычисляется как: \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Длина \( \vec{OM} \): \[ |\vec{OM}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \] Длина \( \vec{i} \): \[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \] 5. **Формула для косинуса угла:** Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами: \[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] Для наших векторов: \[ \cos\theta = \frac{3\sqrt{3}}{6 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. **Определение угла:** Угол \( \theta \), для которого \( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \), равен \( 30^\circ \). **Ответ:** Угол между лучом \( OM \) и положительной полуосью \( OX \) равен \( 30^\circ \).