вычислите рациональным способом е)106²-121/122²-64 ж)87²-15²/97²-56²+153*31 з)59²-38²/83²-17²+3100
Рассмотрим каждую из задач по очереди и подробно объясним, как их решить рациональным способом.
Задача е)
Вычислить: \(\frac{106^2 - 121}{122^2 - 64}\)
Шаг 1: Упростим числитель
Числитель \(106^2 - 121\) можно упростить следующим образом: \[ 106^2 = 11236, \quad \text{поэтому } 106^2 - 121 = 11236 - 121 = 11115 \]
Шаг 2: Упростим знаменатель
Знаменатель \(122^2 - 64\): \[ 122^2 = 14884, \quad \text{поэтому } 122^2 - 64 = 14884 - 64 = 14820 \]
Шаг 3: Подставим значения
Теперь мы можем переписать выражение как: \[ \frac{11115}{14820} \]
Шаг 4: Сократим дробь
Чтобы упростить дробь, найдем НОД (наибольший общий делитель) чисел 11115 и 14820.
- Число 11115 делится на 3 (так как сумма цифр делится на 3), и: \[ 11115 \div 3 = 3705 \]
- Число 14820 также делится на 3: \[ 14820 \div 3 = 4940 \]
Теперь у нас есть: \[ \frac{3705}{4940} \]
Далее можно вычислить НОД и продолжить сокращение. Но, к сожалению, его можно упростить только до \(\frac{741}{988}\) после нескольких шагов деления.
Ответ:
\(\frac{741}{988}\)
Задача ж)
Вычислить: \(\frac{87^2 - 15^2}{97^2 - 56^2 + 153 \cdot 31}\)
Шаг 1: Используем формулу разности квадратов
Разность квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Применим её к числителю: \[ 87^2 - 15^2 = (87 - 15)(87 + 15) = 72 \cdot 102 = 7344 \]
Шаг 2: Упростим знаменатель
Теперь рассмотрим знаменатель: \[ 97^2 - 56^2 + 153 \cdot 31 \] Используем формулу разности квадратов для \(97^2 - 56^2\): \[ 97^2 - 56^2 = (97 - 56)(97 + 56) = 41 \cdot 153 = 6273 \] Теперь добавим \(153 \cdot 31\): \[ 153 \cdot 31 = 4743 \] Сложим: \[ 6273 + 4743 = 11016 \]
Шаг 3: Подставим значения
Теперь у нас есть: \[ \frac{7344}{11016} \]
Шаг 4: Сократим дробь
Сначала найдем НОД 7344 и 11016.
- Найдем простые делители и упрощаем дробь, обнаружив, что: \[ \frac{7344 \div 12}{11016 \div 12} = \frac{612}{918} \]
Снова делим, пока не получим: \[ \frac{34}{51} = \frac{2}{3} \quad \text{(после окончательного деления)} \]
Ответ:
\(\frac{2}{3}\)
Задача з)
Вычислить: \(\frac{59^2 - 38^2}{83^2 - 17^2 + 3100}\)
Шаг 1: Используем формулу разности квадратов для числителя
\[ 59^2 - 38^2 = (59 - 38)(59 + 38) = 21 \cdot 97 = 2037 \]
Шаг 2: Упростим знаменатель
Знаменатель: \[ 83^2 - 17^2 + 3100 \] Сначала применяем формулу разности квадратов: \[ 83^2 - 17^2 = (83 - 17)(83 + 17) = 66 \cdot 100 = 6600 \] Теперь добавляем 3100: \[ 6600 + 3100 = 9700 \]
Шаг 3: Подставим значения
Получаем: \[ \frac{2037}{9700} \]
Шаг 4: Сократим дробь
Найдем НОД. В результате, дробь: \[ \frac{2037 \div 41}{9700 \div 41} = \frac{49}{236} \text{ (дробь не сокращается далее)} \]
Ответ:
\(\frac{49}{236}\)
Таким образом, мы получили решения для всех трёх задач. Если нужны дополнительные объяснения или шаги, дайте знать!
