Геометрия: найдите косинусы углов треугольника с вершинами А(2;8), В(-1;5), С(3;1). по формулам: косинус углаВ=ВСвектор умножить на векторВА/ модуль вектора ВСумножить на модуль вектора ВА косинус углаС=СВвекторумножитьСА вектор/ модуль вектора СВумножить на модуль вектора СА косинусуглаА=ВАвектор умножить АС вектор/ модуль ВА вектор умножить на модуль АС вектор

Чтобы найти косинусы углов треугольника с вершинами \( A(2;8) \), \( B(-1;5) \), и \( C(3;1) \), нам понадобятся координаты вершин для определения направляющих векторов и их длин. ### Шаг 1: Определение векторов Сначала найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BC} \): 1. **Вектор \( \overrightarrow{AB} \)**: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2; 5 - 8) = (-3; -3) \] 2. **Вектор \( \overrightarrow{AC} \)**: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 2; 1 - 8) = (1; -7) \] 3. **Вектор \( \overrightarrow{BC} \)**: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1); 1 - 5) = (4; -4) \] ### Шаг 2: Длина векторов Теперь найдем длины векторов (модули): 1. **Длина \( \overrightarrow{AB} \)**: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. **Длина \( \overrightarrow{AC} \)**: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 3. **Длина \( \overrightarrow{BC} \)**: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] ### Шаг 3: Вычисление косинусов углов Теперь используем данные векторы, чтобы найти косинусы углов. 1. **Косинус угла \( B \) (между векторами \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \))**: \[ \cos(B) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} \] где \[ \overrightarrow{BA} = (-(-3); -(-3)) = (3; 3) \] Тогда \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0 \] \[ \cos(B) = \frac{0}{(3\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2})} = 0 \] Таким образом, угол \( B \) является прямым. 2. **Косинус угла \( C \) (между векторами \( \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{AC} \))**: \[ \cos(C) = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] где \[ \overrightarrow{CB} = (-4; 4) \] Тогда \[ \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4) \cdot 1 + 4 \cdot (-7) = -4 - 28 = -32 \] \[ \cos(C) = \frac{-32}{(4\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})} = \frac{-32}{40} = -0.8 \] 3. **Косинус угла \( A \) (между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AB} \))**: \[ \cos(A) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} \] \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(-3) + (-7)(-3) = -3 + 21 = 18 \] \[ \cos(A) = \frac{18}{(5\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})} = \frac{18}{30} = 0.6 \] ### Результаты: - \( \cos(B) = 0 \) (угол B - прямой) - \( \cos(C) = -0.8 \) - \( \cos(A) = 0.6 \) Таким образом, мы нашли косинусы углов треугольника!