Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці О. Знайти діагональ АС, якщо ВD+OC=12 см.
Розглянемо цю задачу, щоб зрозуміти, як знайти довжину діагоналі \(AC\) квадрата \(ABCD\), використовуючи дані про відрізки \(BD\) і \(OC\).
Властивості квадрата:
- Квадрат має рівні сторони.
- Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і розділяють один одного навпіл.
Діагоналі квадрата:
- Нехай сторони квадрата дорівнюють \(a\).
- Діагональ квадрата \(d\) обчислюється за формулою: \[ d = a\sqrt{2} \]
- Наприклад, діагональ \(AC\) буде дорівнювати \(a\sqrt{2}\), а діагональ \(BD\) також дорівнює \(a\sqrt{2}\).
Розглянемо задане рівняння: Маємо, що: \[ BD + OC = 12 \text{ см} \] Оскільки точка \(O\) – це середина обох діагоналей, можемо записати:
- \(BD = BO + OD = 2 \cdot BO\)
- \(OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}(a\sqrt{2})\)
Тоді з нашого рівняння отримаємо: \[ 2 \cdot BO + OC = 12 \text{ см} \]
Визначимо терміни:
- \(BO = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(a\sqrt{2})\)
Таким чином: \[ 2 \cdot \frac{1}{2}(a\sqrt{2}) + \frac{1}{2}(a\sqrt{2}) = 12 \] Це спроститься до: \[ a\sqrt{2} + \frac{1}{2}(a\sqrt{2}) = 12 \] Далі, спростимо рівняння, помноживши обидві частини на 2, щоб усунути дроби: \[ 2a\sqrt{2} + a\sqrt{2} = 24 \] \[ 3a\sqrt{2} = 24 \]
Знайдемо \(a\): \[ a\sqrt{2} = 8 \] \[ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]
Обчислимо довжину діагоналі \(AC\): Тепер, підставимо значення \(a\) у формулу для діагоналі: \[ AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см} \]
Отже, довжина діагоналі \(AC\) дорівнює 8 см.
