Реши

Давайте решим каждое неравенство поэтапно.

1. \( 9^x - 3^x - 6 > 0 \)

Шаг 1: Замена переменной

Пусть \( y = 3^x \). Тогда \( 9^x = (3^x)^2 = y^2 \).

Неравенство перепишется как:

\[ y^2 - y - 6 > 0 \]

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Решим уравнение \( y^2 - y - 6 = 0 \) методом нахождения корней:

\[ y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2) = 0 \]

Отсюда корни: \( y = 3 \) и \( y = -2 \).

Шаг 3: Определение знаков

Рассмотрим интервалы для \( y \):

1. \( y < -2 \)
2. \( -2 < y < 3 \)
3. \( y > 3 \)

Подставим значения из интервалов в выражение \( (y - 3)(y + 2) \):

• При \( y < -2 \): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• При \( -2 < y < 3 \): множители имеют разные знаки, произведение отрицательное.
• При \( y > 3 \): оба множителя положительные, произведение положительное.

Неравенство \( y^2 - y - 6 > 0 \) выполняется при \( y < -2 \) и \( y > 3 \).

Шаг 4: Возвращение к \( x \)

Вернемся к переменной \( x \):

• \( 3^x > 3 \) даёт \( x > 1 \)
• \( 3^x < -2 \) невозможно, поскольку показательная функция всегда положительна.

Ответ: \( x > 1 \).

2. \( 5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0 \)

Шаг 1: Замена переменной

Пусть \( y = 5^x \). Тогда \( 5^{2x} = (5^x)^2 = y^2 \).

Неравенство перепишется как:

\[ 5 \cdot y^2 + 4y - 1 > 0 \]

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Решим уравнение \( 5y^2 + 4y - 1 = 0 \) методом нахождения корней:

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 5 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \]

Корни:

\[ y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{-4 \pm 6}{10} \]

\[ y_1 = \frac{2}{10} = 0.2, \quad y_2 = \frac{-10}{10} = -1 \]

Шаг 3: Определение знаков

Рассмотрим интервалы для \( y \):

1. \( y < -1 \)
2. \( -1 < y < 0.2 \)
3. \( y > 0.2 \)

Подставим значения из интервалов в выражение \( 5y^2 + 4y - 1 \):

• При \( y < -1 \): множители разные, выражение отрицательное.
• При \( -1 < y < 0.2 \): оба множителя отрицательные, выражение положительное.
• При \( y > 0.2 \): оба множителя положительные, выражение положительное.

Неравенство \( 5y^2 + 4y - 1 > 0 \) выполняется при \( y < -1 \) и \( y > 0.2 \).

Шаг 4: Возвращение к \( x \)

Вернемся к переменной \( x \):

• \( 5^x > 0.2 \) даёт \( x > \log_5(0.2) \)
• \( 5^x < -1 \) невозможно, поскольку показательная функция всегда положительна.

Приблизительное значение \( \log_5(0.2) \) можно найти, но здесь чуть сложнее без калькулятора. Однако искомое будет малое отрицательное число.

Приближенно ответ: \( x > \log_5(0.2) \).

Итак, ответ: \( x > \log_5(0.2) \).