Реши

Давайте решим каждое неравенство поэтапно. ### 1. \( 9^x - 3^x - 6 > 0 \) **Шаг 1: Замена переменной** Пусть \( y = 3^x \). Тогда \( 9^x = (3^x)^2 = y^2 \). Неравенство перепишется как: \[ y^2 - y - 6 > 0 \] **Шаг 2: Решение квадратного неравенства** Решим уравнение \( y^2 - y - 6 = 0 \) методом нахождения корней: \[ y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2) = 0 \] Отсюда корни: \( y = 3 \) и \( y = -2 \). **Шаг 3: Определение знаков** Рассмотрим интервалы для \( y \): 1. \( y < -2 \) 2. \( -2 < y < 3 \) 3. \( y > 3 \) Подставим значения из интервалов в выражение \( (y - 3)(y + 2) \): - При \( y < -2 \): оба множителя отрицательные, произведение положительное. - При \( -2 < y < 3 \): множители имеют разные знаки, произведение отрицательное. - При \( y > 3 \): оба множителя положительные, произведение положительное. Неравенство \( y^2 - y - 6 > 0 \) выполняется при \( y < -2 \) и \( y > 3 \). **Шаг 4: Возвращение к \( x \)** Вернемся к переменной \( x \): - \( 3^x > 3 \) даёт \( x > 1 \) - \( 3^x < -2 \) невозможно, поскольку показательная функция всегда положительна. Ответ: \( x > 1 \). ### 2. \( 5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0 \) **Шаг 1: Замена переменной** Пусть \( y = 5^x \). Тогда \( 5^{2x} = (5^x)^2 = y^2 \). Неравенство перепишется как: \[ 5 \cdot y^2 + 4y - 1 > 0 \] **Шаг 2: Решение квадратного неравенства** Решим уравнение \( 5y^2 + 4y - 1 = 0 \) методом нахождения корней: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \). Посчитаем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \] Корни: \[ y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{-4 \pm 6}{10} \] \[ y_1 = \frac{2}{10} = 0.2, \quad y_2 = \frac{-10}{10} = -1 \] **Шаг 3: Определение знаков** Рассмотрим интервалы для \( y \): 1. \( y < -1 \) 2. \( -1 < y < 0.2 \) 3. \( y > 0.2 \) Подставим значения из интервалов в выражение \( 5y^2 + 4y - 1 \): - При \( y < -1 \): множители разные, выражение отрицательное. - При \( -1 < y < 0.2 \): оба множителя отрицательные, выражение положительное. - При \( y > 0.2 \): оба множителя положительные, выражение положительное. Неравенство \( 5y^2 + 4y - 1 > 0 \) выполняется при \( y < -1 \) и \( y > 0.2 \). **Шаг 4: Возвращение к \( x \)** Вернемся к переменной \( x \): - \( 5^x > 0.2 \) даёт \( x > \log_5(0.2) \) - \( 5^x < -1 \) невозможно, поскольку показательная функция всегда положительна. Приблизительное значение \( \log_5(0.2) \) можно найти, но здесь чуть сложнее без калькулятора. Однако искомое будет малое отрицательное число. Приближенно ответ: \( x > \log_5(0.2) \). Итак, ответ: \( x > \log_5(0.2) \).