В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: СА1 = 11 см, C1D1 = 2 см, А1D1 = 6 см. Найти длину ребра СС1 и синус угла между диагональю СА1 и плоскостью ABCD.

Для решения данной задачи мы разберем её на части.

1. Определение длины ребра \( CC_1 \)

Так как \( C_1D_1 = 2 \) см и точки в прямоугольном параллелепипеде располагаются так, что \( CC_1 \) перпендикулярно \( C_1D_1 \), можно утверждать, что длина ребра \( CC_1 \) равна высоте параллелепипеда. Параллелепипед описан как:

• \( CA_1 = 11 \) см (глубина),
• \( C_1D_1 = 2 \) см (ширина),
• \( A_1D_1 = 6 \) см (высота).

Так как в параллелепипеде все ребра перпендикулярны друг к другу, мы можем заметить, что:

\[ CC_1 = A_1D_1 = 6 \text{ см}. \]

2. Нахождение синуса угла между диагональю \( CA_1 \) и плоскостью \( ABCD \)

Шаг 1: Находим координаты точек.

Предположим, что точка \( A \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \), тогда остальные точки можно задать следующим образом:

• \( B(11, 0, 0) \)
• \( C(11, 2, 0) \)
• \( D(0, 2, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 6) \)
• \( B_1(11, 0, 6) \)
• \( C_1(11, 2, 6) \)
• \( D_1(0, 2, 6) \)

Шаг 2: Находим вектор диагонали \( CA_1 \).

Вектор диагонали \( CA_1 \) можно выразить как разность векторов: \[ \overrightarrow{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, 6) - (11, 2, 0) = (-11, -2, 6). \]

Шаг 3: Нахождение нормали к плоскости \( ABCD \).

Для плоскости \( ABCD \) можно выбрать два вектора: \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \).

\[ \overrightarrow{AB} = (11, 0, 0) - (0, 0, 0) = (11, 0, 0), \] \[ \overrightarrow{AD} = (0, 2, 0) - (0, 0, 0) = (0, 2, 0). \]

Теперь найдем вектор, перпендикулярный плоскости: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 11 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 22) \] Нормаль \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 22) \).

Шаг 4: Находим синус угла \( \theta \) между вектором диагонали и нормалью.

Формула для нахождения синуса угла между векторами: \[ \sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{CA_1} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CA_1}| |\overrightarrow{n}|}. \]

Длину вектора \( \overrightarrow{CA_1} \) находим как: \[ |\overrightarrow{CA_1}| = \sqrt{(-11)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{121 + 4 + 36} = \sqrt{161}. \] Длину вектора нормали \( \overrightarrow{n} \): \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 22^2} = 22. \]

Нахождение скалярного произведения: \[ \overrightarrow{CA_1} \cdot \overrightarrow{n} = (-11) \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 6 \cdot 22 = 132. \]

Теперь подставим в формулу: \[ \sin(\theta) = \frac{|132|}{\sqrt{161} \cdot 22} = \frac{132}{22 \sqrt{161}} = \frac{6}{\sqrt{161}}. \]

Ответ

1. Длина ребра \( CC_1 = 6 \) см.
2. Синус угла между диагональю \( CA_1 \) и плоскостью \( ABCD \) равен \( \frac{6}{\sqrt{161}} \).