Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x2-6x+9 и прямыми у=0, х=0, x=2.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 9 и прямыми y = 0, x = 0 и x = 2, будем следовать пошаговому плану.
Шаг 1: Анализ функции
Сначала рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 6x + 9. Эта функция является квадратичной (параболой) и может быть переписана в виде:
\[ f(x) = (x - 3)^2 \]
Это означает, что парабола открыта вверх и имеетVertex (вершину) в точке (3, 0). При этом функция достигает значения 0 в точке x = 3 и всегда будет принимать положительные значения для x < 3, поскольку она достигает минимума в этой точке.
Шаг 2: Найдем значения функции на заданных границах
Теперь нужно рассмотреть границы интегрирования, которые были заданы:
- x = 0
- x = 2
Вычислим значения функции f(x) в этих точках:
Для x = 0: \[ f(0) = (0 - 3)^2 = 9 \]
Для x = 2: \[ f(2) = (2 - 3)^2 = 1 \]
Итак, у нас есть:
- f(0) = 9
- f(2) = 1
Шаг 3: Определение площади
Площадь, ограниченная графиком функции и указанными прямыми, будет вычисляться с помощью интеграла. Мы можем выразить площадь A следующим образом:
\[ A = \int_{0}^{2} f(x) \,dx \]
Подставляем функцию:
\[ A = \int_{0}^{2} (x^2 - 6x + 9) \,dx \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь найдем интеграл:
Найдем первообразную: \[ \int (x^2 - 6x + 9) \,dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x + C \]
Теперь вычислим определенный интеграл с границами от 0 до 2: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{2} \]
Подставим верхний предел (x = 2): \[ A(2) = \frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 12 + 18 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{26}{3} \]
Теперь подставим нижний предел (x = 0): \[ A(0) = \frac{0^3}{3} - 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0 \]
Теперь найдем площадь: \[ A = A(2) - A(0) = \frac{26}{3} - 0 = \frac{26}{3} \]
Шаг 5: Итог
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции и указанными прямыми, составляет \(\frac{26}{3}\) квадратных единиц.
Это и будет окончательный ответ!
