В некотором графе 5 вершин, степени которых равны: 12; 5; 14; 6; 5. Сколько в этом графе рёбер?

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним несколько ключевых понятий графов.

Понятия

1. Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных данной вершине. В нашем случае у нас есть 5 вершин с заданными степенями.

2. Сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер. Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины, и, следовательно, увеличивает степень обеих вершин на 1.

Дано

• Степени вершин: 12, 5, 14, 6, 5.

Шаг 1: Найдем сумму степеней вершин

Сложим все степени:

\[ 12 + 5 + 14 + 6 + 5 = 42 \]

Шаг 2: Используем формулу для нахождения количества рёбер

Согласно теореме о сумме степеней вершин, сумма степеней вершин равна удвоенному количеству рёбер (E):

\[ \text{Сумма степеней} = 2E \]

Подставим найденную сумму:

\[ 42 = 2E \]

Шаг 3: Решим уравнение для нахождения E

Разделим обе стороны уравнения на 2:

\[ E = \frac{42}{2} = 21 \]

Ответ

В графе 5 вершин с указанными степенями содержится 21 рёбер.

Пояснение

Каждое ребро добавляет к степени двух вершин по одному. Таким образом, если мы знаем сумму степеней, можем легко вычислить количество рёбер. Важно помнить, что в большинстве графов степень каждой вершины не может быть больше, чем количество других вершин в графе, поэтому учитывайте этот момент при анализе степеней.