. прямоугольная трапеция с углом в 45° вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. найдите:a)площадь поверхности тела вращения, если основаниятрапеции равны 3 и 5. б)…

Для решения задачи о площади поверхности и объеме тела вращения прямоугольной трапеции, давайте разберем шаги по порядку.

Данные

• Основания трапеции равны \( a = 3 \) и \( b = 5 \).
• Угол при основании равен \( 45° \).

Шаг 1: Определим высоту трапеции

В прямоугольной трапеции с углом в \( 45° \) высота равна разности половин основания. Таким образом, полагая, что основание \( a \) — меньшее, мы можем воспользоваться следующим соотношением:

\[ h = b - a = 5 - 3 = 2 \]

Шаг 2: Построим фигуру

Трапеция выглядит следующим образом:

       __________________ (b=5)
      /|
     / |
    /  | h=2
   /   |
  /_____| 
   (a=3)

Шаг 3: Площадь поверхности тела вращения

Когда трапеция вращается вокруг большего основания, образуется цилиндр и два конуса. Площадь поверхности тела вращения будет состоять из следующих частей:

1. Площадь поверхности цилиндра.
2. Площадь поверхности конуса, образованного верхней частью трапеции.

3.1: Площадь боковой поверхности цилиндра

Радиус основания цилиндра \( R = \frac{a + b}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) (среднее основание).

Высота цилиндра равна высоте трапеции \( h = 2 \).

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_{цилиндра} = 2 \pi R h = 2 \pi (4)(2) = 16 \pi \]

3.2: Площадь боковой поверхности конуса

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам нужно знать его радиус. Так как конус образуется от границы меньшего основания, радиус равен \( r = \frac{a}{2} = \frac{3}{2} \).

Для нахождения длины образующей (к) конуса: \[ k = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \]

Площадь боковой поверхности конуса: \[ S_{конуса} = \pi r k = \pi \left(\frac{3}{2}\right) \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{15\pi}{4} \]

Шаг 4: Общая площадь поверхности

Сложим площади боковой поверхности цилиндра и конуса: \[ S_{общая} = S_{цилиндра} + S_{конуса} = 16\pi + \frac{15\pi}{4} = \frac{64\pi}{4} + \frac{15\pi}{4} = \frac{79\pi}{4} \]

Шаг 5: Объем тела вращения

Объем тела вращения также можно вычислить, складывая объем цилиндра и конуса.

1. Объем цилиндра: \[ V_{цилиндра} = \pi R^2 h = \pi (4^2)(2) = 32\pi \]

2. Объем конуса: \[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{9}{4}\right) \cdot 2 = \frac{3\pi}{2} \]

Шаг 6: Общий объем

Сложим объемы цилиндра и конуса: \[ V_{общий} = V_{цилиндра} + V_{конуса} = 32\pi + \frac{3\pi}{2} = 32\pi + 1.5\pi = (32 + 1.5)\pi = 33.5\pi \]

Ответ

а) Площадь поверхности тела вращения: \( S_{общая} = \frac{79\pi}{4} \)
б) Объем тела вращения: \( V_{общий} = 33.5\pi \)

Таким образом, все шаги выполнены и результаты из полученных расчетов записаны!