Вопрос от Анонимного юзера 28 января 2025 14:05

Question 1

Найди корень через теорему Виета 2х²-9х-10=0

Answer

Чтобы решить квадратное уравнение (2x^2 - 9x - 10 = 0) с использованием теоремы Виета, давайте сначала вспомним, что теорема Виета связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями.

Общее квадратное уравнение имеет вид: [ ax^2 + bx + c = 0, ] где:

(a) — коэффициент при (x^2),
(b) — коэффициент при (x),
(c) — свободный член.

В нашем случае:

(a = 2),
(b = -9),
(c = -10).

Шаг 1: Применение теоремы Виета

Согласно теореме Виета, если корни уравнения (x_1) и (x_2) существуют, то они связаны со следующими соотношениями:

(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})
(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})

Подставим в формулы наши значения (a), (b) и (c).

Шаг 2: Находим сумму корней

Подставляем значения в первое уравнение: [ x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5. ]

Шаг 3: Находим произведение корней

Теперь подставляем значения во второе уравнение: [ x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{2} = -5. ]

Шаг 4: Составляем квадратное уравнение

Теперь у нас есть сумма и произведение корней:

(x_1 + x_2 = 4.5)
(x_1 \cdot x_2 = -5)

Корни можно представить как (x_1) и (x_2), которые являются решениями удвоенного квадратного уравнения: [ t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1 x_2 = 0. ]

Подставим значения: [ t^2 - 4.5t - 5 = 0. ]

Шаг 5: Решение нового квадратного уравнения

Найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-4.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5). ] Посчитаем: [ D = 20.25 + 20 = 40.25. ]

Теперь найдем корни: [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4.5 \pm \sqrt{40.25}}{2}. ]

Сначала найдем (\sqrt{40.25} \approx 6.35): [ t_1 \approx \frac{4.5 + 6.35}{2} \approx \frac{10.85}{2} \approx 5.425, ] [ t_2 \approx \frac{4.5 - 6.35}{2} \approx \frac{-1.85}{2} \approx -0.925. ]

Ответ

Таким образом, корни уравнения (2x^2 - 9x - 10 = 0) равны приблизительно: [ x_1 \approx 5.425, \quad x_2 \approx -0.925. ]

Теперь мы узнали, как использовать теорему Виета для нахождения корней квадратного уравнения!

Question 2

найди корень через теорему Виета 2х²-9х-10=0

Answer

Чтобы решить квадратное уравнение \(2x^2 - 9x - 10 = 0\) с использованием теоремы Виета, давайте сначала вспомним, что теорема Виета связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями. Общее квадратное уравнение имеет вид: \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где: - \(a\) — коэффициент при \(x^2\), - \(b\) — коэффициент при \(x\), - \(c\) — свободный член. В нашем случае: - \(a = 2\), - \(b = -9\), - \(c = -10\). ### Шаг 1: Применение теоремы Виета Согласно теореме Виета, если корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\) существуют, то они связаны со следующими соотношениями: 1. \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) Подставим в формулы наши значения \(a\), \(b\) и \(c\). ### Шаг 2: Находим сумму корней Подставляем значения в первое уравнение: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5. \] ### Шаг 3: Находим произведение корней Теперь подставляем значения во второе уравнение: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{2} = -5. \] ### Шаг 4: Составляем квадратное уравнение Теперь у нас есть сумма и произведение корней: 1. \(x_1 + x_2 = 4.5\) 2. \(x_1 \cdot x_2 = -5\) Корни можно представить как \(x_1\) и \(x_2\), которые являются решениями удвоенного квадратного уравнения: \[ t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1 x_2 = 0. \] Подставим значения: \[ t^2 - 4.5t - 5 = 0. \] ### Шаг 5: Решение нового квадратного уравнения Найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5). \] Посчитаем: \[ D = 20.25 + 20 = 40.25. \] Теперь найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4.5 \pm \sqrt{40.25}}{2}. \] Сначала найдем \(\sqrt{40.25} \approx 6.35\): \[ t_1 \approx \frac{4.5 + 6.35}{2} \approx \frac{10.85}{2} \approx 5.425, \] \[ t_2 \approx \frac{4.5 - 6.35}{2} \approx \frac{-1.85}{2} \approx -0.925. \] ### Ответ Таким образом, корни уравнения \(2x^2 - 9x - 10 = 0\) равны приблизительно: \[ x_1 \approx 5.425, \quad x_2 \approx -0.925. \] Теперь мы узнали, как использовать теорему Виета для нахождения корней квадратного уравнения!