найди корень через теорему Виета 2х²-9х-10=0
Чтобы решить квадратное уравнение \(2x^2 - 9x - 10 = 0\) с использованием теоремы Виета, давайте сначала вспомним, что теорема Виета связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями.
Общее квадратное уравнение имеет вид: \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где:
- \(a\) — коэффициент при \(x^2\),
- \(b\) — коэффициент при \(x\),
- \(c\) — свободный член.
В нашем случае:
- \(a = 2\),
- \(b = -9\),
- \(c = -10\).
Шаг 1: Применение теоремы Виета
Согласно теореме Виета, если корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\) существуют, то они связаны со следующими соотношениями:
- \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
- \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
Подставим в формулы наши значения \(a\), \(b\) и \(c\).
Шаг 2: Находим сумму корней
Подставляем значения в первое уравнение: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5. \]
Шаг 3: Находим произведение корней
Теперь подставляем значения во второе уравнение: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{2} = -5. \]
Шаг 4: Составляем квадратное уравнение
Теперь у нас есть сумма и произведение корней:
- \(x_1 + x_2 = 4.5\)
- \(x_1 \cdot x_2 = -5\)
Корни можно представить как \(x_1\) и \(x_2\), которые являются решениями удвоенного квадратного уравнения: \[ t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1 x_2 = 0. \]
Подставим значения: \[ t^2 - 4.5t - 5 = 0. \]
Шаг 5: Решение нового квадратного уравнения
Найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5). \] Посчитаем: \[ D = 20.25 + 20 = 40.25. \]
Теперь найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4.5 \pm \sqrt{40.25}}{2}. \]
Сначала найдем \(\sqrt{40.25} \approx 6.35\): \[ t_1 \approx \frac{4.5 + 6.35}{2} \approx \frac{10.85}{2} \approx 5.425, \] \[ t_2 \approx \frac{4.5 - 6.35}{2} \approx \frac{-1.85}{2} \approx -0.925. \]
Ответ
Таким образом, корни уравнения \(2x^2 - 9x - 10 = 0\) равны приблизительно: \[ x_1 \approx 5.425, \quad x_2 \approx -0.925. \]
Теперь мы узнали, как использовать теорему Виета для нахождения корней квадратного уравнения!
