tg(α+7π/2) если tgα=0,5

Чтобы найти \( \tan\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) \) при условии, что \( \tan \alpha = 0.5 \), нам нужно воспользоваться свойствами тригонометрических функций, а именно периодичностью тангенса.

Шаг 1: Используем свойство периодичности тангенса

Тангенс имеет период \( \pi \), это значит, что: \[ \tan(\theta + n\pi) = \tan(\theta) \] для любого целого числа \( n \). Однако \( \frac{7\pi}{2} \) не является кратным \( \pi \), поэтому нам нужно выразить этот угол в более удобной форме.

Шаг 2: Упрощаем угол

Сначала нам нужно уменьшить угол \( \frac{7\pi}{2} \) до эквивалентного угла в пределах одного полного оборота (от \( 0 \) до \( 2\pi \)). Для этого мы можем вычесть \( 3\pi \), так как \( 3\pi = \frac{6\pi}{2} \): \[ \frac{7\pi}{2} - 3\pi = \frac{7\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

Шаг 3: Подставляем в формулу

Теперь у нас есть: \[ \tan\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \]

Шаг 4: Используем формулу для тангенса суммы

Используем формулу для тангенса суммы: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] где \( A = \alpha \) и \( B = \frac{\pi}{2} \).

Однако важно помнить, что \( \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) \) не определён, так как он стремится к бесконечности. Таким образом, \[ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\tan \alpha} \]

Шаг 5: Подставление известного значения

Так как \( \tan \alpha = 0.5 \), имеем: \[ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{0.5} = -2 \]

Итог

Таким образом, окончательный результат: \[ \tan\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = -2 \]