4sin(α+π)+3cos(3π/2+α)/sin(α+3π)

Для того чтобы понять и решить задачу \( \frac{4\sin(\alpha + \pi) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(\alpha + 3\pi)} \), начнём с упрощения каждого тригонометрического выражения, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Упрощение \(\sin(\alpha + \pi)\)

Согласно свойствам синуса:

\[ \sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta) \]

Тогда:

\[ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \]

Шаг 2: Упрощение \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\)

Согласно свойствам косинуса:

\[ \cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin(\theta) \]

Поэтому:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) \]

Шаг 3: Упрощение \(\sin(\alpha + 3\pi)\)

По аналогии с первым шагом:

\[ \sin(\theta + 3\pi) = -\sin(\theta) \]

Следовательно:

\[ \sin(\alpha + 3\pi) = -\sin(\alpha) \]

Шаг 4: Подстановка упрощений в оригинальное выражение

Теперь подставим все упрощённые выражения в начальное уравнение:

\[ = \frac{4(-\sin(\alpha)) + 3(-\sin(\alpha))}{-\sin(\alpha)} \]

Это упрощается до:

\[ = \frac{-4\sin(\alpha) - 3\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} \]

Объединяем термины в числителе:

\[ = \frac{-7\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = 7 \]

Ответ

Итак, результатом выражения является:

\[ \boxed{7} \]

Это означает, что при любом значении \( \alpha \), где \(\sin(\alpha) \neq 0\), данное выражение будет равно 7.