Для того чтобы понять и решить задачу ( \frac{4\sin(\alpha + \pi) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(\alpha + 3\pi)} ), начнём с упрощения каждого тригонометрического выражения, используя тригонометрические тождества.
Шаг 1: Упрощение (\sin(\alpha + \pi))
Согласно свойствам синуса:
[
\sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta)
]
Тогда:
[
\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)
]
Шаг 2: Упрощение (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right))
Согласно свойствам косинуса:
[
\cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin(\theta)
]
Поэтому:
[
\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)
]
Шаг 3: Упрощение (\sin(\alpha + 3\pi))
По аналогии с первым шагом:
[
\sin(\theta + 3\pi) = -\sin(\theta)
]
Следовательно:
[
\sin(\alpha + 3\pi) = -\sin(\alpha)
]
Шаг 4: Подстановка упрощений в оригинальное выражение
Теперь подставим все упрощённые выражения в начальное уравнение:
[
= \frac{4(-\sin(\alpha)) + 3(-\sin(\alpha))}{-\sin(\alpha)}
]
Это упрощается до:
[
= \frac{-4\sin(\alpha) - 3\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)}
]
Объединяем термины в числителе:
[
= \frac{-7\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = 7
]
Ответ
Итак, результатом выражения является:
[
\boxed{7}
]
Это означает, что при любом значении ( \alpha ), где (\sin(\alpha) \neq 0), данное выражение будет равно 7.
