5/(x-1) - 4/3(1-x)^2=3

Давайте решим уравнение: \[ \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(1-x)^2} = 3 \] ### Шаг 1: Упростим уравнение Прежде чем выполнять какие-либо действия, заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\). Это поможет избежать лишних вычислений, но для этого уравнения мы можем работать напрямую с \(x-1\). ### Шаг 2: Приведем к общему знаменателю Общий знаменатель для дробей \(\frac{5}{x-1}\) и \(\frac{4}{3(1-x)^2}\) будет равен \(3(x-1)^2\). Перепишем уравнение: \[ \frac{5 \cdot 3(1-x)}{3(x-1)^2} - \frac{4}{3(1-x)^2} = 3 \] Далее, умножим обе стороны уравнения на \(3(x-1)^2\), чтобы избавиться от дробей: \[ 5 \cdot 3(1-x) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Теперь упростим уравнение: \[ 15(1-x) - 4 = 9(x-1)^2 \] Раскроем скобки: \[ 15 - 15x - 4 = 9(x^2 - 2x + 1) \] Соберем все на одной стороне: \[ 11 - 15x = 9x^2 - 18x + 9 \] ### Шаг 4: Переносим все на одну сторону Переместим все части уравнения влево: \[ 0 = 9x^2 - 3x - 2 \] ### Шаг 5: Решим квадратное уравнение Теперь решим квадратное уравнение \(9x^2 - 3x - 2 = 0\) с использованием формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 9\), \(b = -3\), \(c = -2\). Подставляем значения: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2)}}{2 \cdot 9} \] Считаем дискриминант: \[ D = 9 + 72 = 81 \] Теперь подставляем: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{18} \] Так как \(\sqrt{81} = 9\): \[ x = \frac{3 \pm 9}{18} \] ### Шаг 6: Находим корни Теперь найдем два корня: 1. \(x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\) 2. \(x = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}\) ### Ответ Таким образом, у нас есть два решения: \[ x_1 = \frac{2}{3}, \quad x_2 = -\frac{1}{3} \] Теперь мы можем убедиться, что обе эти точки находятся в допустимой области, так как нельзя подставлять значения, которые приводят к делению на ноль. Здесь \(x\) не равен 1, следовательно, оба значения допустимы. Если есть дополнительные вопросы по решению или другим темам, напишите!