5/(x-1) - 4/3(1-x)^2=3
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(1-x)^2} = 3 \]
Шаг 1: Упростим уравнение
Прежде чем выполнять какие-либо действия, заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\). Это поможет избежать лишних вычислений, но для этого уравнения мы можем работать напрямую с \(x-1\).
Шаг 2: Приведем к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей \(\frac{5}{x-1}\) и \(\frac{4}{3(1-x)^2}\) будет равен \(3(x-1)^2\). Перепишем уравнение:
\[ \frac{5 \cdot 3(1-x)}{3(x-1)^2} - \frac{4}{3(1-x)^2} = 3 \]
Далее, умножим обе стороны уравнения на \(3(x-1)^2\), чтобы избавиться от дробей:
\[ 5 \cdot 3(1-x) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь упростим уравнение:
\[ 15(1-x) - 4 = 9(x-1)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 15 - 15x - 4 = 9(x^2 - 2x + 1) \]
Соберем все на одной стороне:
\[ 11 - 15x = 9x^2 - 18x + 9 \]
Шаг 4: Переносим все на одну сторону
Переместим все части уравнения влево:
\[ 0 = 9x^2 - 3x - 2 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Теперь решим квадратное уравнение \(9x^2 - 3x - 2 = 0\) с использованием формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 9\), \(b = -3\), \(c = -2\).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2)}}{2 \cdot 9} \]
Считаем дискриминант:
\[ D = 9 + 72 = 81 \]
Теперь подставляем:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{18} \]
Так как \(\sqrt{81} = 9\):
\[ x = \frac{3 \pm 9}{18} \]
Шаг 6: Находим корни
Теперь найдем два корня:
- \(x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)
- \(x = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}\)
Ответ
Таким образом, у нас есть два решения:
\[ x_1 = \frac{2}{3}, \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]
Теперь мы можем убедиться, что обе эти точки находятся в допустимой области, так как нельзя подставлять значения, которые приводят к делению на ноль. Здесь \(x\) не равен 1, следовательно, оба значения допустимы.
Если есть дополнительные вопросы по решению или другим темам, напишите!
