Шарик массой 0,64 кг закреплён на пружин жёсткостью 0,4 кН/м. На сколько надо растянуть пружину от положения равновесия, чтобы шарик проходил положение равновесия со скоростью 1…

Для решения задач, давайте разберём каждую из них по отдельности.

Задача 1: Шарик на пружине

Условие:
Шарик массой 0,64 кг, пружина жёсткостью 0,4 кН/м. Найти, на сколько надо растянуть пружину, чтобы шарик проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с.

Шаг 1: Принятие условий.
Пусть \( x \) — это величина растяжения пружины от положения равновесия.

Шаг 2: Энергетический подход.
Когда шарик проходит через положение равновесия со скоростью 1 м/с, его кинетическая энергия равна: \[ E_k = \frac{1}{2} mv^2, \] где \( m = 0,64 \, \text{кг} \) и \( v = 1 \, \text{м/с} \).

Подставляем данные: \[ E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,64 \cdot (1^2) = 0,32 \, \text{Дж}. \]

Шаг 3: Потенциальная энергия пружины.
Потенциальная энергия пружины, когда она растянута на расстояние \( x \): \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2, \] где \( k = 0,4 \, \text{кН/м} = 400 \, \text{Н/м} \).

Шаг 4: Сравнение энергий.
В состоянии, когда шарик проходит через равновесие, его кинетическая энергия равна потенциальной энергии пружины: \[ \frac{1}{2} k x^2 = E_k \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot x^2 = 0,32. \]

Шаг 5: Решение уравнения.
Сначала умножим обе части на 2: \[ 400 x^2 = 0,64. \] Теперь разделим обе части на 400: \[ x^2 = \frac{0,64}{400} = 0,0016. \] Теперь найдём \( x \): \[ x = \sqrt{0,0016} = 0,04 \, \text{м} = 4 \, \text{см}. \]

Ответ:
Чтобы шарик проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с, пружину нужно растянуть на 4 см.

Задача 2: Длина математического маятника

Условие:
Какова длина математического маятника, если период его колебаний равен 2 с?

Формула для периода маятника:
Период колебаний математического маятника \( T \) определяется следующим образом: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \] где \( L \) — длина маятника, \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9,81 \, \text{м/с}^2 \)).

Шаг 1: Подставим значение периода.
Имеем: \[ 2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9,81}}. \]

Шаг 2: Упростим уравнение.
Разделим обе стороны на \( 2\pi \): \[ \frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{L}{9,81}}. \]

Теперь возведём обе стороны в квадрат: \[ \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 = \frac{L}{9,81}. \]

Шаг 3: Найдём \( L \).
Умножим обе стороны на \( 9,81 \): \[ L = 9,81 \left(\frac{1}{\pi}\right)^2. \]

Шаг 4: Вычисления.
Подставим значение \( \pi \approx 3,14 \): \[ L = 9,81 \left(\frac{1}{3,14}\right)^2 \approx 9,81 \cdot 0,101 = 0,991 \, \text{м}. \]

Ответ:
Длина математического маятника равна примерно 0,99 м.