Для решения задач, давайте разберём каждую из них по отдельности.
Задача 1: Шарик на пружине
Условие:
Шарик массой 0,64 кг, пружина жёсткостью 0,4 кН/м. Найти, на сколько надо растянуть пружину, чтобы шарик проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с.
Шаг 1: Принятие условий.
Пусть ( x ) — это величина растяжения пружины от положения равновесия.
Шаг 2: Энергетический подход.
Когда шарик проходит через положение равновесия со скоростью 1 м/с, его кинетическая энергия равна:
[
E_k = \frac{1}{2} mv^2,
]
где ( m = 0,64 , \text{кг} ) и ( v = 1 , \text{м/с} ).
Подставляем данные:
[
E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,64 \cdot (1^2) = 0,32 , \text{Дж}.
]
Шаг 3: Потенциальная энергия пружины.
Потенциальная энергия пружины, когда она растянута на расстояние ( x ):
[
E_p = \frac{1}{2} k x^2,
]
где ( k = 0,4 , \text{кН/м} = 400 , \text{Н/м} ).
Шаг 4: Сравнение энергий.
В состоянии, когда шарик проходит через равновесие, его кинетическая энергия равна потенциальной энергии пружины:
[
\frac{1}{2} k x^2 = E_k \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot x^2 = 0,32.
]
Шаг 5: Решение уравнения.
Сначала умножим обе части на 2:
[
400 x^2 = 0,64.
]
Теперь разделим обе части на 400:
[
x^2 = \frac{0,64}{400} = 0,0016.
]
Теперь найдём ( x ):
[
x = \sqrt{0,0016} = 0,04 , \text{м} = 4 , \text{см}.
]
Ответ:
Чтобы шарик проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с, пружину нужно растянуть на 4 см.
Задача 2: Длина математического маятника
Условие:
Какова длина математического маятника, если период его колебаний равен 2 с?
Формула для периода маятника:
Период колебаний математического маятника ( T ) определяется следующим образом:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},
]
где ( L ) — длина маятника, ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9,81 , \text{м/с}^2 )).
Шаг 1: Подставим значение периода.
Имеем:
[
2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9,81}}.
]
Шаг 2: Упростим уравнение.
Разделим обе стороны на ( 2\pi ):
[
\frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{L}{9,81}}.
]
Теперь возведём обе стороны в квадрат:
[
\left(\frac{1}{\pi}\right)^2 = \frac{L}{9,81}.
]
Шаг 3: Найдём ( L ).
Умножим обе стороны на ( 9,81 ):
[
L = 9,81 \left(\frac{1}{\pi}\right)^2.
]
Шаг 4: Вычисления.
Подставим значение ( \pi \approx 3,14 ):
[
L = 9,81 \left(\frac{1}{3,14}\right)^2 \approx 9,81 \cdot 0,101 = 0,991 , \text{м}.
]
Ответ:
Длина математического маятника равна примерно 0,99 м.
